Метод прямоугольников

Метод прямоугольников является наиболее простым методом приближенного вычисления интеграла. Он основан на непосредственном определении определенного интеграла:

= ,

где – интегральная сумма, соответствующая некоторому произвольному разбиению отрезка [a; b] на m частей и некоторому выбору точек x₀, x₁ , ... ,x_{m – 1} на отрезках разбиения.

Вычисление определенного интеграла I = геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x) и прямыми х = а, х = b.

Заменим криволинейную трапецию DЕba прямоугольником АВba, проведя АВ так, чтобы фигуры DAC и CEB получились примерно равными. Тогда площади криволинейной трапеции и прямоугольника АВba будут примерно равны. Учитывая, что высота прямоугольника равна f(x), а основание (b – a), можно записать: f(x)dx » (b – a) f(x).

Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок [a; b] разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок Δx_i = x_i+1 – x_i (i = 0, ..., m–1), а высотой число f(x_i), где x_i Î [x_i, x_i+1], тогда

f(x)dx » f(x₀) Δx₀ + f(x₁) Δx₁ + ... + f(x_n–1) Δx_m–1 .

Практически удобно делить [a; b] на равные части, а точки x_i совмещать с левыми (f(x_i)=f(x_i)) или правыми (f(x_i)=f(x_i+1)) концами отрезков разбиения.

Тогда приближенное значение интеграла геометрически равно площади заштрихованной ступенчатой фигуры и может быть представлено:

1) формулой левых прямоугольников (рис. 1):

I = = (у₀+ у₁+...+ у_m-1) = h , где h = , (1)

2) формулой правых прямоугольников (рис. 2):

I = = (у₁ + ... + у_m) = h . (2)

Рис. 1 Рис. 2

Оценка погрешности: , где

Формулы прямоугольников – это простейшие квадратурные формулы. Существуют квадратурные формулы Ньютона -_Котеса, частными случаями которых являются формула трапеций, формула Симпсона или парабол.

Метод трапеций

Приближенное значение определенного интеграла можно найти, заменив на отрезке [а; b] дугу АВ графика подынтегральной функции у = f(x) стягивающей ее хордой и вычисляя площадь трапеции АВba.

Рис. 3 Рис. 4

Примем значение определенного интеграла численно равным площади этой трапеции:

» (b – a) – формула трапеций.

Если f^{/ //}(x) > 0, то вычисления по формуле трапеций дает значение интеграла с избытком (рис. 3); если f ^//(x) < 0, то интеграл вычисляется с недостатком (рис. 4).

Для простоты вычислений удобно делить [a; b] на равные части (m частей). Длина каждого из отрезков разбиения Dx_i = , тогда для отрезка [ x_i; x_i+1]

» ,

а на всем отрезке [a; b] численное значение интеграла равно » ,

или, так как у_i под знаком å встречается дважды, » .

Перепишем данное выражение в более удобном виде:

» (у₀ + 2у₁ + 2у₂ + ... + 2у_m-1 + у_m), где h = (3)

Получили формулу трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла.

Оценка погрешности: , где .

Пример. Вычислить интеграл по формулам прямоугольников и трапеций. Оценить погрешность.

Решение.

Разобьем отрезок интегрирования [-1; 3] на 4 равные части. Рассмотрим подынтегральную функцию и составим таблицу ее значений с шагом h = 1: .

х	-1
у

1) Метод прямоугольников.

Вычислим интеграл, пользуясь формулой левых прямоугольников (1):

I = =h (у₀+ у₁+...+ у_m-1), тогда .

Вычислим интеграл, пользуясь формулой правых прямоугольников (2):

I = =h (у₁+...+ у_m), тогда .

В данном примере легко посчитать точное значение интеграла: , следовательно, по формуле левых прямоугольников значение нашли с избытком, по формуле правых – с недостатком.

Для оценки погрешности этого найдем производные подынтегральной функции:

, .

= = 2, тогда погрешность = .

2) Метод трапеций.

Формула трапеций (3): » (у₀ + 2у₁ + 2у₂ + ... + 2у_m-1 + у_m),

тогда

Найдем погрешность. = .