Понятие конечных разностей

Пусть на сетке для заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной: , где h − шаг интерполяции. Точки называются узлами интерполяции.

Введем понятие конечных разностей. В математической литературе используется три типа конечных разностей: 1) нисходящие разности для интерполяции вперед, 2) восходящие разности для интерполяции назад, 3) центральные разности для построения центральных интерполяционных формул.

Пусть известны значения функции в узлах : . Составим разности значений функции.

Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в данном узле и в предыдущем:

,

…………………………………………….

.

Это определение можно записать в другой форме:

Можно составить вторые разности функции:

,

Иначе

Аналогично составляются конечные разности порядка k:

При помощи конечных разностей были построены интерполяционные многочлены: 1) многочлен Стирлинга, который используется при построении многочлена четной степени и строится по нечетному числу узлов, 2) многочлен Бесселя, который используется при построении многочлена нечетной степени и строится по четному числу узлов, 3) первый и второй интерполяционные многочлены Ньютона, когда точка интерполирования находится в начале или в конце таблицы.

Оценка погрешности замены функции многочленами P_n(x):

, где .