Квадратичная интерполяция

Если интерполирующая функция - многочлен второго порядка , то интерполяция называется квадратичной. Иногда ее называют параболической на отрезке [xi-1, xi+1], так как квадратный трехчлен - это парабола , где - неизвестные. Для их определения необходимо условие прохождения параболы через три точки: .

       
 
   
х
 

 


Эти условия запишем в виде:

Решив систему, получим значения , а, следовательно, и уравнение параболы на участке [xi-1, xi+1]. Уравнения парабол на разных отрезках [xi-1, xi+1] разные. . Квадратичная интерполяция является локальной интерполяцией.

 

Пример. Найти приближенное значение функции при х = 0,32, если известна таблица ее значений, с помощью линейной и квадратичной интерполяции.

 

х 0,15 0,30 0,40 0,55
у 2,17 3,63 5,07 7,78

Решение.

1) С помощью линейной интерполяции.

х = 0,32 находится между узлами xi-1 = 0,30 и xi = 0,40. Найдем и :

, тогда уравнение прямой, соединяющей данные узлы, имеет вид .

Найдем значение функции в заданной точке: .

 

2) С помощью квадратичной интерполяции.

Ближайшими к х = 0,32 являются узлы xi-1 = 0,15, xi = 0,30, xi+1 = 0,40. Составим систему для нахождения коэффициентов параболы, проходящей через данные узлы:

Решив систему, получим, что . Подставим числа в уравнение параболы :

.

Найдем значение функции в заданной точке: .

Многочлен Лагранжа

Примером глобальной интерполяции являетсяпостроение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка[x0, xn], график которого проходит через все заданные в таблице точки. Это многочлен Лагранжа. Его уравнение имеет вид:

- интерполяционный многочлен Лагранжа.

Оценка погрешности замены функции многочленом Лагранжа:

, где .

 

Решение предыдущего примера с помощью многочлена Лагранжа.

 

= раскроем скобки и получим многочлен 3-ей степени.

Найдем значение функции в точке х = 0,32:

= 3, 89.






Дата добавления: 2016-06-15; просмотров: 20567; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.029 сек.