п.3. Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с начальным условием Как и в методе Эйлера, выберем шаг и построим сетку с системой узлов Обозначим через приближенное значение искомого решения в точке .

Приведем алгоритм метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности:

, ,

, .

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге. Так как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности примет вид .

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие .

Приближенными решениями будут значения , i = 0, 1, …, n.

Пример.

Решить задачу Коши

Решение.

Найдем , тогда с учетом (6.20) расчетные формулы примут вид:

,

, i = 0, 1, …,10.

Задача имеет точное решение: , поэтому погрешность вычисляется как абсолютная величина разности между точным и приближенным значениями

Найденные по формулам приближенные значения решения и их погрешности представлены в таблице

0.1	1.01005		0.6	1.43333
0.2	1.04081		0.7	1.63232
0.3	1.09417		0.8	1.89648
0.4	1.17351		0.9	2.24790
0.5	1.28403		1.0	2.71827