Формулы Ньютона-Котеса.

Численное интегрирование.

Введение.

Требуется найти

В прикладных задачах этот интеграл может выражать площадь, объём, работу переменной силы и т.д.

Опр. 6.1. Квадратурная формула – приближённое равенство вида

Здесь – некоторые точки отрезка – узлы квадратурной формулы, – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; – целое число. Сумма квадратурная сумма, величина – погрешность квадратурной формулы.

Опр. 6.2.Формула (6.1) точна для многочленов степени m, если для любого многочлена степени не выше m эта формула даёт точное значение интеграла, т.е.

Формулы прямоугольников.

Для простоты шаг – будем считать постоянным.

Элементарная квадратурная формула прямоугольников:

Составная квадратурная формула прямоугольников (центральных прямоугольников):

Формула левых прямоугольников:

Формула правых прямоугольников:

Обозначение 6.1.

Теорема 6.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда

(6.5)

Доказательство.Погрешность формулы прямоугольников

Используя формулу Тейлора

где , имеем

Так как , то . Замечая, что , приходим к оценке (6.5).

Формула трапеций.

Элементарная квадратурная формула трапеций:

Составная квадратурная формула трапеций:

Теорема 6.2. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда

(6.7)

Доказательство: Воспользуемся тем, что отрезок, соединяющий точки и представляет собой график интерполяционного многочлена первой степени Поэтому

Используя оценку погрешности интерполяции, имеем

Следовательно,

Формула Симпсона.

Элементарная квадратурная формула Симпсона:

Идея построения. Это так называемая формула парабол. На каждом элементарном отрезке строится интерполяционный многочлен второй степени (парабола), затем этот многочлен интегрируется.

Составная квадратурная формула Симпсона:

Теорема 6.3. Пусть функция четырежды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда

(6.9)

Замечание 6.1.Оценки (6.5), (6.7), (6.9) означают, что формулы прямоугольников и трапеция имеют второй порядок точности относительно , а формула Симпсона – четвёртый порядок точности. Из тех же оценок следует, что формулы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, а формула Симпсона – для многочленов третьей степени.

Формулы (6.3), (6.4) имеют лишь первый порядок точности (абсолютная погрешность каждой из формул не превышает ) и поэтому редко применяются.

Формулы Ньютона-Котеса.

Идея построения. Интеграл представляют в виде суммы интегралов по элементарным отрезкам. На каждом таком отрезке подынтегральная функция аппроксимируется легко интегрируемой функцией.

В случае, когда аппроксимация осуществляется с помощью интерполяционных многочленов, построенных на основе равноотстоящих значений , имеем квадратурные формулы Ньютона-Котеса:

Теорема 6.4. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную порядка . Тогда для погрешности формулы (6.10) справедлива оценка

где .