Формулы Ньютона-Котеса.
Численное интегрирование.
Введение.
Требуется найти
В прикладных задачах этот интеграл может выражать площадь, объём, работу переменной силы и т.д.
Опр. 6.1. Квадратурная формула – приближённое равенство вида
Здесь – некоторые точки отрезка – узлы квадратурной формулы, – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы; – целое число. Сумма квадратурная сумма, величина – погрешность квадратурной формулы.
Опр. 6.2.Формула (6.1) точна для многочленов степени m, если для любого многочлена степени не выше m эта формула даёт точное значение интеграла, т.е.
Формулы прямоугольников.
Для простоты шаг – будем считать постоянным.
Элементарная квадратурная формула прямоугольников:
Составная квадратурная формула прямоугольников (центральных прямоугольников):
Формула левых прямоугольников:
Формула правых прямоугольников:
Обозначение 6.1.
Теорема 6.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда
(6.5)
Доказательство.Погрешность формулы прямоугольников
Используя формулу Тейлора
где , имеем
Так как , то . Замечая, что , приходим к оценке (6.5).
Формула трапеций.
Элементарная квадратурная формула трапеций:
Составная квадратурная формула трапеций:
Теорема 6.2. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда
(6.7)
Доказательство: Воспользуемся тем, что отрезок, соединяющий точки и представляет собой график интерполяционного многочлена первой степени Поэтому
Используя оценку погрешности интерполяции, имеем
Следовательно,
Формула Симпсона.
Элементарная квадратурная формула Симпсона:
Идея построения. Это так называемая формула парабол. На каждом элементарном отрезке строится интерполяционный многочлен второй степени (парабола), затем этот многочлен интегрируется.
Составная квадратурная формула Симпсона:
Теорема 6.3. Пусть функция четырежды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда
(6.9)
Замечание 6.1.Оценки (6.5), (6.7), (6.9) означают, что формулы прямоугольников и трапеция имеют второй порядок точности относительно , а формула Симпсона – четвёртый порядок точности. Из тех же оценок следует, что формулы прямоугольников и трапеций точны для многочленов первой степени, а формула Симпсона – для многочленов третьей степени.
Формулы (6.3), (6.4) имеют лишь первый порядок точности (абсолютная погрешность каждой из формул не превышает ) и поэтому редко применяются.
Формулы Ньютона-Котеса.
Идея построения. Интеграл представляют в виде суммы интегралов по элементарным отрезкам. На каждом таком отрезке подынтегральная функция аппроксимируется легко интегрируемой функцией.
В случае, когда аппроксимация осуществляется с помощью интерполяционных многочленов, построенных на основе равноотстоящих значений , имеем квадратурные формулы Ньютона-Котеса:
Теорема 6.4. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную порядка . Тогда для погрешности формулы (6.10) справедлива оценка
где .
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 4878;