Дискретизация задачи. Построение разностной схемы (РС) методом конечных разностей.

Заменяем отрезок сеткой - конечным набором точек . Точки называются узлами сетки. Для простоты изложения будем считать сетку равномерной с шагом .

Сетка разбивается на два подмножества: Множество внутренних узлов состоит из тех узлов , которые лежат внутри интервала Множество граничных узлов состоит из двух узлов и .

Мы будем искать решение краевой задачи только в узлах сетки. То есть будем искать не функцию , а сеточную функцию . Значения будем обозначать через и рассматривать как приближения к значениям решения задачи (9.1), (9.2).

Введём также сеточные функции и , принимающие в узлах сетки значения и .

В (9.1) аппроксимируя второй разностной производной и заменяя значения функций сеточными аналогами, приходим к задаче

Разрешимость РС. Использование метода прогонки.

Система (9.3), (9.4) приводится к виду

Как нетрудно видеть матрица этой системы трёхдиагональна, то есть её можно решать методом прогонки.

Условия теоремы 3.4. выполняются: , , (1 ), . Поэтому прогонка может быть проведена до конца (не один из ), и прогонка устойчива, то есть .

Исследование РС.

Для сокращения записей далее обозначим

Лемма 9.1. Пусть сеточная функция является решением системы сеточных уравнений

коэффициенты которой удовлетворяют условиям

Тогда если , и для всех то

Доказательство. Предположим, что не выполнено. Так как по условию , , то максимальное значение функции положительно и достигается во внутреннем узле сетки: .

Пусть j — максимальный среди индексов i, для которых . Тогда ,

Так как , то . Учитывая, что , , из равенства (9.5), взятого при , получим

Полученное противоречие (0 < 0) доказывает, что .

Теорема 9.1. (принцип максимума). Пусть сеточная функция является решением разностной схемы

Тогда если , и то

Доказательство.Легко проверяется, что коэффициенты системы сеточных уравнений (9.6), (9.7) удовлетворяют условиям леммы 9.1.

Теорема 9.2. Для решения разностной схемы справедлива априорная оценка