Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами
Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f(x) Q[x] (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f(x) Z[x] (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.
Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.
Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если –рациональный корень многочлена f(x)=an × xn+ + …+ a1 × x + a0сцелымикоэффициентами, причем (p, q) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а0, а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а0.
Теорема 6.2.ЕслиQ (где(p, q) =1) является рациональным корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то – целые числа.
Пример.Найтивсе рациональные корнимногочлена
f(x) = 6 x4 + x3 + 2 x2 – 4 х+ 1.
1. По теореме 6.1: если –рациональный корень многочлена f(x), (где(p, q) = 1),то a0 = 1 p, an = 6 q. Поэтому p { 1}, q {1, 2, 3, 6}, значит,
.
2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится на (х – а).
Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f(x) можно воспользоваться схемой Горнера:
– 4 | |||||
– 1 | – 5 | –11 |
f(1) = 6 0, f(–1) = 12 0, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочлена f(x).
3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел , воспользуемся теоремой 6.2. Если выражения или принимает целые значения для соответствующих значений числителя p и знаменателя q, то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.
= | ц | ц | ц | др | др | др |
= | ц | ц | ц | ц | др | др |
4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа корнями f(x). Вначале разделим f(x) на (х – ).
– 4 | |||||
–2 |
В результате имеем: f(x) = (х – )(6 x3 + 4 x2 + 4 х – 2) и – корень f(x). Частное q(x) = 6 x3 + 4 x2 + 4 х – 2 разделим на (х + ).
– 4 | |||||
– | –2 | –5 | 3 |
Так как q (– ) = 3 0, то (– ) не является корнем многочлена q(x), а значит и многочлена f(x).
Наконец, разделим многочлен q(x) = 6 x3 + 4 x2 + + 4 х – 2 на (х – ).
– 4 | |||||
–3 |
Получили: q ( ) = 0, т.е. – корень q(x), а значит, – корень f (x). Таким образом, многочлен f (x) имеет два рациональных корня: и .
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 381;