В знаменателе дроби
В школьном курсе при решении некоторых типов задач на освобождение от иррациональности в знаменателе дроби достаточно домножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю.
Примеры.1.t =.
Здесь в знаменателе срабатывает формула сокращенного умножения (разность квадратов), что позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе.
2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
t = . Выражение – неполный квадрат разности чисел а = и b = 1. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения а3 – b3= (а + b) · (a2 – ab + b2), можно определить множитель m = (а + b) = + 1, на который следует домножать числитель и знаменатель дроби t, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби t. Таким образом,
t = .
В ситуациях, где формулы сокращенного умножения не работают, можно использовать другие приемы. Ниже будет сформулирована теорема, доказательство которой, в частности, позволяет найти алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби в более сложных ситуациях.
Определение 6.1.Число z называется алгебраическим над полем F, если существует многочлен f(x) F[x], корнем которого является z, в противном случае число z называется трансцендентным над полем F.
Определение 6.2.Степенью алгебраического над полем F числа z называется степень неприводимого над полем F многочлена p(x) F[x], корнем которого является число z.
Пример.Покажем, что числоz = является алгебраическим над полем Qи найдем его степень.
Найдем неприводимый над полем Q многочлен p(х), корнем которого является x = . Возведем обе части равенства x = в четвертую степень, получим х4 = 2 или х4 – 2= 0. Итак, p(х) = х4 – 2, а степень числа z равна deg p(х) = 4.
Теорема 6.3 (об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби).Пусть z – алгебраическое число над полем F степени n. Выражение вида t = , где f(x), (x) F[x], (z) 0
единственным образом может быть представлено в виде:
t = сn-1 zn-1 + cn-2 zn-2 + … + c1 z + c0, ci F.
Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби продемонстрируем на конкретном примере.
Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:
t =
1. Знаменателем дроби является значение многочлена (х) = х2 – х +1 при х = . В предыдущем примере показано, что – алгебраическое число над полем Q степени 4, так как оно является корнем неприводимого над Q многочлена p(х) = х4 – 2.
2. Найдем линейное разложение НОД ( (х), p(x)) с помощью алгоритма Евклида.
_ x4 – 2 | x2 – x + 1
x4– x3+ x2x2 + x = q1(x)
_ x3– x2 – 2
x3– x2+ x
x2 – x + 1 | – x –2 = r1 (x)
x2 + 2x – x + 3 = q2(x)
_–3x + 1
–3x – 6
_ – x –2 |7 = r2
– x –2 - x - = q3(x)
Итак, НОД ( (х), p(x)) = r2 = 7. Найдем его линейное разложение.
Запишем последовательность Евклида, пользуясь обозначениями многочленов.
p(x) = (x) · q1(x) + r1(x) r1(x) = p(x) – (x) · q1(x)
(x) = r1(x) · q2(x) + r2(x) r2(x) = (x) – r1(x) · q2(x)
r1(x) = r2(x) · q2(x).
Подставим в равенство 7= r2(x) = (x) – r1(x) · q2(x) значение остатка r1(x) = p(x) – (x) · q1(x), после преобразований получим линейное разложение НОД( (х), p(x)): 7 = p(x) · (– q2(x)) + (x) · [1 + q1(x) · q2(x)]. Если подставить в последнее равенство вместо обозначений соответствующие многочлены и учесть, что p( ) = 0, то имеем:
(1 – + ) · (– + 2 + 3 + 1)] = 7 (1)
3. Из равенства (1) следует, что если знаменатель дроби t умножить на число m = [1 + (– + 2 + 3 + 1)], то получим 7. Таким образом,
t = = .
МЕТОДИКА 16. Тема урока: Стандартный вид многочлена
Класс: 7
Тип урока: урок проверки и контроля знаний и умений
Цели урока:
- проверить умения приводить многочлен к стандартному виду
- развивать у учащихся логическое мышление, внимание
- воспитывать самостоятельность
Структура урока:
1) Организационный момент
2) Инструктаж
3) Самостоятельная работа.
Задания:
1. Дополните предложения:
а) Выражение, содержащее сумму одночленов называют …(многочленом).
б) Многочлен состоящий из стандартных одночленов и не содержащий подобных слагаемых называется … (стандартным многочленом).
в) Наибольшую из степеней одночленов входящих в многочлен стандартного вида называют … (степенью многочлена).
г) Прежде чем определить степень многочлена, нужно … (привести его к стандартному виду).
д) Для нахождения значения многочлена нужно сделать первое…(представить многочлен в стандартном виде), второе …(подставить значение переменной в данное выражение).
2. Найти значение многочлена:
а) 2a4-ab+2b2 при a=-1, b=-0,5
б) x2+2xy+y2 при x=1,2, y=-1,2
3. Привести многочлен к стандартному виду:
а) -5ах2 + 7а2х + 2а2х + 9ах2 – 4ах2 – 8а2х;
б) (5х2 – 7х – 13) – (3х2 – 8х + 17);
в) 2а – (1,4ав + 2а2 – 1) + (3а + 6,4ав) ;
г) (2с2 – 1,6с + 4) – ((10,6с2 + 4,4с – 0,3) – (3,6с2 – 7с – 0,7));
4. Привести многочлен к стандартному виду и выяснить при каких значениях х его значение равно 1:
а) 2x2-3x-x2-5+2x-x2+10;
б) 0,3x3-x2+x-x3+3x2+0,7x3-2x2+0,07
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 343;