Схема Горнера и её применения

Существует алгоритм деления многочлена f(x) на (x – a), который называется схемой Горнера.

Пусть f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ , deg f(x) = n, a_n 0. Разделим f(x) на (x – a), получим: (*) f(x) = (x – а) × q(x) + r, где r Î F, deg q(x) = n – 1.

Запишем q(x) = b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + … + b₁ x + b₀. Тогда подставив в равенство (*) вместо f(x)и q(x)их выражения, получим:

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₁ x + a₀ = (х – а) (b_n-1 x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + … + b₁ x + b₀) + r

Так как многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих степенях должны быть равны.

r – ab₀ = a₀ r = a₀ + ab₀

b₀ – ab₁ = a₁ b₀ = a₁ + ab₁

…………….. ……………

b_n-1 = a_n a_n = a_n-1

Вычисление коэффициентов многочлена q(x) удобнее осуществлять с помощью таблицы (схемы Горнера).

a

С помощью схемы Горнера можно решать такие типы задач:

1. Найти q(x) и r при делении f(x) на (х – а);

2. Вычислить значение многочлена f(x) при x = a;

3. Выяснить, будет ли х = а корнем многочлена f(x), а F;

4. Определить кратность корня;

5. Разложить многочлен по степеням (х – а).

6. Вычислить значение многочлена f(x) и всех его производных при х = а.

Пример.Пусть f(x) = x⁵ – 15 x⁴ + 76 x³ – 140x² + 75x – 125 и а = 5.

Составим схему Горнера:

1. Вычислим неполное частное q(x) и остаток r при делении f(x) на (х – 5). Во второй строке таблицы видим, что коэффициенты частного q(x) равны: 1, – 10, 26, – 10, 25, поэтому q(x) = 1х⁴ – 10х³ + 26х² – 10х + 25, а остаток r равен 0.

2. Вычислим значение многочлена f(x) при x = 5. Воспользуемся теоремой Безу: f(5) = r = 0.

3. Выясним, будет ли х = 5 корнем многочлена f(x). По определению а – корень f(x), если f(а) = 0. Так как f(5) = r = 0, то 5 – корень f(x).

4. Из второй, третьей и четвертой строк таблицы мы видим, что f(x) делится на (х – 5)³, но f(x) не делится на (х – 5)⁴. Следовательно, число корень 5 имеет кратность 3.

5. Разложим многочлен f(x) по степеням (х – 5), коэффициенты разложения с₀, с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ получаются в последних клетках второй, третьей, четвертой, пятой, шестой и седьмой строки схемы Горнера:

f (x) = с₀ + с₁(х –5)+ с₂(х – 5)² + с₃ (х – 5)³ + с₄(х – 5)⁴ + с₅ (х – 5)⁵ или

f (x) = 26 (х – 5)³ + 10 (х – 5)⁴ + (х – 5)⁵.

6. Вычислим значение многочлена f(x) и всех его производных при х = 5.

с₀ = f(5) = 0, с₁ = f ′(5) = 0, с₂ = = 0 f ′′(5) = 0,

с₃ = = 26 f ^′′′(5) = 26 ∙ 3! = 156, с₄ = = 10 f ′ ^v(5) = 10 ∙ 4! = 240,

с₅ = = 1 f ^v(5) = 1 ∙ 5! = 120.

МЕТОДИКА 15. «Логарифмическая функция».

1. Логико – математический анализ темы.

Данная тема изучается в 10 классе.

Основные понятия:

Функцию, заданную формулой у=log_ах, где а>0, а≠0 называют логарифмической функцией с основанием а.

Термин – логарифмическая функция.

Род – функция.

Видовые отличия: 1) а>0, а≠0; 2) функция задана формулой у=log_ах.

Основные предложения:

Свойства логарифмической функции.

1°. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R₊, т.е. D(log)=R₊.

2°. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3°. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а>1) или убывает (при 0<а<1).

Справедливо следующее утверждение: графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой у=х.

Основные идеи и методы изучения:

Определения понятий явные, через ближайший род и видовые отличия – конструктивные.

Методы доказательства:

Дедуктивные (на основе определения) с использованием математических методов: логарифмирование степени, основные свойства степени, метод от противного.

Например, свойство о том, что при а>1 функция возрастает, доказывается с помощью определения возрастающей функции, при этом применяется метод от противного.

Ранее изученный материал	Теоретический материал темы	Применение изученного материала
- показательная функция; - показательные уравнения и неравенства; - логарифмы и их свойства; - убывающая и возрастающая функции; - график функции.	Область определения функции Множество значений функции График функции Логарифм числа Десятичный и натуральный логарифмы Основные логарифмические тождества Логарифмическая функция Свойства логарифма Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства	- при решении логарифмических уравнений и неравенств; - в астрономии (оценка яркости звезд); - в физике; - в высшей математике (математическая логика, математический анализ).

1. Основные типы математических задач по теме

- найти область определения функции;

- построить график функции;

- найти область значения функции;

- найти промежутки знакопостоянства функции;

- исследовать функцию и построить ее график;

- найти наибольшее и наименьшее значение функции;

- найти значение выражения.

Типичные ошибки и затруднения изучения темы

Математические ошибки:

ü вычислительные ошибки: при решении уравнений и неравенств, при нахождении значений функции, при действиях со степенями;

ü логические ошибки: в выполнении тождественных преобразований, в использовании свойств логарифмов, при определении понятий, при выводе формул;

ü графические ошибки: при построении графиков функций (не учитывают свойства функций); неправильно применяют преобразование графиков.

3. методы и приемы работы учащихся с учебником математики в соответствии с возрастными особенностями учащихся.

В 5-6 классах используют следующие методы работы с учебником:

1. чтение правил, определений, формулировок теорем учащимися после объяснения учителя

2. чтение вслух учителя ученикам с выделением главного и существенного

3. работа с формулами и иллюстрациями на обложке учебника

4. чтение учебника учащимися и ответы на вопросы учителя

В 7-8 классах добавляются следующие методы работы с учебником:

1. чтение текстов после их объяснения учителем

2. чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы

3. чтение текста из учебника учащимися и запись основных предложений темы по плану, предложенному учителем

В 9 – 11 классах ко всему предложенному добавляется:

1. разбор примеров учащимися в учебнике, после объяснения темы учителем

2. чтение текста учащимися и запись опорного конспекта по данному тексту

3. чтение текста учебника и самостоятельное составление учащимися плана по данному тексту.

4. чтение текста учебника и ответ учащегося по самостоятельно составленному плану

2. Фрагмент урока изучения новой темы: «Логарифмическая функция».

Цели урока:

Обучающие: обеспечить в ходе урока усвоения понятия логарифмическая функция, формировать умения определять свойства логарифмических функций, формировать умение изображать графики логарифмической функции.

Развивающие: способствовать развитию мышления, восприятия, памяти, воображению, внимания.

Воспитательные: воспитывать устойчивый интерес к математике, воспитывать отдельные качества личности: аккуратность, настойчивость, трудолюбие.

Тип урока: изучение нового материала

Структура урока:

1.организационный момент; 2. постановка целей урока; 3.проверка домашнего задания; 4. подготовка к изучению нового материала; 5. изучение нового материала; 6.первичное закрепление и осмысление нового материала; 7.постановка домашнего задания; 8.подведение итогов урока.;