Билет № 15. Билет №15. Многочлены от одной переменной. Делимость многочлена на двучлен
Кольцо F[x] многочленов над полем
Определение 5.1. Пусть дано произвольное поле F, x – переменная. Многочленом n - й степени от одной переменной называют выражение вида: an × xn + …+ a1× x + a0, где ai F (i = 0, 1, 2, …, n), an 0 , n Î NÈ {0}.
Замечание. ai хi называют членом многочлена; i – степенью этого члена (если ai 0); ai – коэффициент соответствующего члена. Если ai = 0, то члену ai × xi не приписывается никакой степени, a0 × x0 – член нулевой степени, если ai 0 – элемент поля F.
Многочлены от одной переменной обозначают так: f(x), g(x), h(x) и т.п.
Определение 5.2.Степенью многочлена f(x) называют наивысшую из степеней его членов (и обозначают deg f(x)).
Многочлен f(x) = 0 · хn + 0 · xn-1 + … + 0 называют нуль-многочленом. Его степень не определяется.
Множество многочленов F[x] = {f(x)| f(x) = an × xn + …+ a1× x + a0} можно разбить на три класса:
1) нуль-многочлен f(x) = 0 · хn + 0 · xn-1 + … + 0;
2) многочлены нулевой степени (ai F);
3) многочлены степени выше нулевой f(x) и g(x), …
Если даны два многочлена f(x) и g(x), то всегда можно считать, что они содержат одинаковое число членов, т.к. недостающие члены всегда можно приписать с нулевыми коэффициентами.
Определение 5.3. f(x), g(x) F [x], если
f(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 и
g(x) = bn xn + bn-1 xn-1 + …+ b1 x+ b0, то
f(x) = g(x) (an = bn ) (an-1 = bn-1) … (a0 = b0 ).
Определим на множестве F [x] три операции:
1. f(x), g(x) F [x], f(x) + g(x) = (an + bn) xn +( an-1 + bn-1 ) xn-1 + …+ (a1 +b1) x+ +(a0 + b0);
2. f(x) F [x], F , f(x) = an xn +an-1 xn-1 + … + a1 x +a0;
3. f(x), g(x) F [x], f(x) · g(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0) х + …+ (a0 bi +…+ a1 bi-1 + + … + ai b0 ) xi + … + an bm ) xn+m;
Теорема 5.1 (о кольце многочленов от одного переменного).
Алгебра (F[x], + , ×) является коммутативным кольцом с единицей без делителей нуля, содержащим в качестве подкольца, поле F.
Деление с остатком в кольце F[x]
Дата добавления: 2021-12-14; просмотров: 353;