Отношение делимости в кольце Z и его свойства

Определение. 7.1.Целое число а делится на целое число b 0, если

q Zа = bq.

Обозначается а b и читается “a делится на b”, а также b | a и читается “b делит а”.

а – делимое, b – делитель, q – частное.

Используется и другое обозначение:

Свойства:

1⁰. Отношение делимости рефлексивно на множестве ненулевых целых чисел (т.е. а Z \{0} а а), т. к. 1 Z: а = а · 1.

2⁰ Отношение делимости транзитивно на множестве целых чисел:

(т.е. а, b, c Zа b b c a c), т.к. (а b) q₁ Z:а = bq₁, кроме того, (b c) q₂ Z:b= cq₂ а = cq₂q₁ = cq₂ (а c).

3⁰ Отношение делимости не антисимметрично на множестве целых чисел, т.к. а, b Z(а b b а) [(a = b) (a = - b)].

4⁰ Отношение делимости антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. а, b Nа b b а а = b), т.к. если b = a × n, a = b × m, то m, n Î N, и b = (b× m)× n = = b× (m × n), т.е. m × n = 1, и m = n = 1, а значит, а = b.

Следовательно, отношение делимости не является отношением эквивалентности, а будет отношением частичного порядка на множестве N.

5⁰.Если a b, то для любого ненулевого целого c выполнено aс b.

Действительно, если a b, то b= a × q для некоторого целого q, тогда

b× c = a× (q× c),следовательно, aс b

6⁰.Если a b, то (±a) (±b)при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.

Свойство 6⁰ является следствием свойства 5⁰ и определения делимости.

7⁰.Если a b₁, … , b_n a, то(b₁ + … + b_n) a.

8⁰. Если b₁ a, … , b_n a , то для любых целых r₁ , … , r_n выполнено a (b₁ × r₁ + …+ b_n × r_n ) a .

Свойство 8⁰ является следствием свойств 6⁰и7⁰.

Замечание 1.Записьозначает, чтоа не делится на b.

Определение. 7.2.Целое число а делится на b Z, b 0 с остатком, если q, r Z: а = bq + r, где 0 < r < | b |, a – делимое, b – делитель, q – неполное частное, r – остаток.

Замечание 2. Из определения следует, что остаток всегда число неотрицательное.

Примеры. Разделить с остатком а на b, если: а) при а = 53 на b= 5, получим: 53 = 5 · 10 + 3 (т.е. неполное частное q = 10, остаток r = 3).

б) при а = -53 на b = 5, получим: -53 = 5 · (-11) + 2 (q = -11, r = 2)

в) при а= -53 на b = – 5, получим: -53 = -5 · 11 + 2.

г)приа = 53 на b = – 5, получим: 53 = (-5) · (-10) + 3.

Теорема 7.1 (о делении с остатком).Для любых целых чисел a, b 0 однозначно определены частное q и остаток r от деления a на b т.е.

" a Î Z" bÎZ\{0}$ ! q, r Î Z a = bq + r Ù0 r < |b|).

Доказательство.

I. Покажем возможность деления.

1. Пусть a 0, b > 0. Докажем существование деления с остатком числа a на число b методом математической индукции по числу a.

a) Если a = 0, то 0 = b× 0 + 0 (имеем: q = 0, r = 0) и в этой ситуации возможность деления с остатком показано.

б) Пусть а > 0 и bq – наибольшее кратное числа b, которое не превосходит а, тогда bq a< b(q + 1), следовательно, 0 a – bq < b или 0 a – bq < | b |.

Положим, что а – bq = r, тогда получим что, а = bq + r, где 0 r | b |.

Итак, для неотрицательных целых чисел a и b существование деления с остатком доказано.

2. Пусть a > 0, b < 0. Тогда |b| > 0 и согласно п.1 существует формула деления с остатком для положительного числа а на положительное число | b | , поэтому a = | b |× q + r , где 0 r | b |. Тогда a = b × (– q) + r – искомая формула деления с остатком а на b.

3. Пусть a < 0, b > 0, тогда (– а)> 0 и согласно п.1 (– a) = b× q + r,где 0 r < | b |. При r = 0 данная формула принимает вид: а = b× (– q) + 0. При r > 0имеем a = b× (– q) – r = b× (– q – 1) + (b – r), причём 0 < b – r < b, или 0 < b – r <| b | т.е. (– q – 1),(b – r) – искомые частное и остаток соответственно.

4. Пусть a < 0, b < 0. Тогда (–b) > 0 и согласно п.3 существует формула деления с остатком для отрицательного числа а на положительное число (– b), поэтому a = (– b) × q^′ + r^′, где 0 r^′ | b | (согласно п. 3 имеем: q^′= (– q – 1), r^′ = (b – r)) или a = b × (– q^′ ) + r^′,

II. Докажем единственность существования частного и остатка от деления а на b.

Предположим противное.

Пусть a = bq₁+ r₁,0 r₁<| b| и a = bq₂ + r₂ ,0 r₂< |b|. Тогда

b(q₁ – q₂) = (r₁ – r₂) < | b | (r₁ – r₂) b, а т. к. 0 | r₁ – r₂ | < | b |

(r₁ – r₂) = 0 (r₂ = r₁) b(q₁ – q₂) = 0 , b 0 q₁ = q₂ .

МЕТОДИКА 17. Тема урока: «Делители и кратные».

Обучающие цели: ввести понятие делителя и кратного натурального числа; отрабатывать умение находить делители и кратные данного натурального числа.

Развивающие цели: развитие мышления, совершенствование устных и письменных вычислительных навыков, развитие математической речи учащихся.

Воспитательные цели: воспитание интереса к математике, воспитание таких качеств личности как аккуратность, последовательность, настойчивость и т.д.

Тип урока:урок изучения нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

III. Сообщение темы урока

Учитель объявляет тему и цели урока. В тетрадях записывается число, тема.

- Сегодня на уроке мы познакомимся с новыми понятиями «делители и кратные» натуральных чисел. Запишем в тетрадь тему урока: «Делители и кратные».

IV. Изучение нового материала

1. Работа с учебником.

- Прочитайте пример в учебнике на стр. 4. (Учебник Н.Я.Виленкина.)

Задача. 20 яблок надо разделить поровну между 4 ребятами. Сколько яблок получит каждый ребенок? (Каждый получит по 5 яблок.)

- А если надо разделить (не разрезая) 20 яблок между 6 ребятами? Сколько яблок получит каждый ребенок ? (Каждый получит по 3 яблока, а еще 2 яблока останутся.)

- Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20.

Определение. Делителемнатурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.

- Запишем в тетрадь: а : b

число b – делитель числа а; а b – натуральные числа.

- Назовите делители числа 12 (1, 2, 3, 4, 6 и 12.)

2. № 1 стр. 4 (устно).

(Ответ: по 1 ореху – 36 кучек, по 2 – 18 кучек, по 3 – 12 кучек, по 4 – 9 кучек, по 6 – кучек.)

- Что можно сказать об этих числах? (Они являются делителями числа 36.)

№ 2 (устно).

- Прочитайте условие задачи.

- Ответьте на 1-й вопрос . (Да.)

- Почему? (42 делится на 6 без остатка.)

- Ответьте на второй вопрос. (Нет.)

- Поче6му? (Так как 49 не делится на 6 без остатка.)

3. Задача из учебника (стр. 4).

- Прочитайте пример в учебнике на стр. 4.

Задача. Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 печений. Можно ли, не раскрывая пачек, взять 8 печений? (Да.) 16 печений? (Да.) 24 печенья? (Да.) А 18 печений? (Нет, не раскрывая пачек, взять 18 печений нельзя.)

- Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8.

Определение. Кратным натурального числа а называют натуральное число с, которое делится без остатка на а.

- Запишем в тетрадь: с : а

число с – кратное числа а; с, а – натуральные числа.

- Слово «крата» - старинное русское слово, означающее раз. Слово «кратный» означает известное число раз. Сколько кратного говорено тебе! Однократный, многократный проступок (Такое толкование этих слов дает толковый словарь Даля.)

4. – Назовите числа, кратные числу 10. (10, 20, 30, 40, …)

- Можно ли назвать самое большое число, кратное числу 10? (Нет.)

- Почему? (Натуральных чисел бесконечно много.)

- Какой вывод можно сделать? (Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.)

5. – Последовательно кратные данного числа можно получать, умножая его на 1, 2, 3 и т.д. или прибавляя данное число к предыдущему кратному. Например, кратными числу 5 будут числа: 5*1=5, 5*2=10, 5*3=15 и т.д.

Или 5+5=10, 10+5=15, 15+5=20 и т.д.

V. Физкультминутка

- Положите голову на парту, Закройте глаза. Расслабьтесь.

- Вспомните самое приятное, что с вами произошло во время каникул.

- Потянитесь, как маленькие котята. Улыбнитесь.

- И с таким прекрасным настроением продолжим нашу работу.