Нормальное (гауссовское) распределение

Это распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению оно впервые рассматривалось А. Муавром еще в 1733 году. Некоторое время спустя нормальное распределение было снова открыто и изучено независимо друг от друга К. Гауссом (1809 г.) и П. Лапласом (1813 г.). Оба ученых пришли к нормальному закону в связи со своей работой по теории ошибок наблюдений. Идея их объяснения механизма формирования нормально распределенных случайных величин заключается в следующем. Постулируется, что значения исследуемой непрерывной случайной величины формируются под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может превалировать среди остальных, а характер воздействия – аддитивный. Можно показать, что функция плотности распределения случайных величин подобного типа имеет вид

, (3)

где , а – любое действительное число. Само распределение называют нормальным. Проведя исследование функции методами дифференциального исчисления, легко убедиться, что её график имеет вид:

Рис. 7.1. график функции плотности нормального распределения

Найдем функцию нормального распределения. Запишем по определению (формула (2)):

.

Выполним замену переменной интегрирования по формуле

, .

Тогда интеграл примет вид:

.

Первый интеграл в полученной формуле есть интеграл Пуассона и равен

,

второй интеграл – значение интегральной функции Лапласа в точке :

.

Тогда

(4)

Как следствие из формулы (4) отметим следующие формулы:

(5)

(6)

В частности, если , то из формулы (6) следует

(7)

Формулу (7) часто называют «Правилом трех сигм», которое означает, что с достаточно большой вероятностью P = 0,9973, можно утверждать, что почти все значения случайной величины находятся в интервале с центром М(Х) = а и радиусом .