Математическое ожидание и дисперсия некоторых случайных величин

Из перечисленных свойств легко следуют утверждения.

Теорема 1. Пусть - независимые случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания. Тогда, математическое ожидание суммы и средней арифметической этих величин соответственно равны

, где , (1)

. (2)

Теорема 2. Если - независимые случайные величины и имеют одинаковые дисперсии, равные , то дисперсии суммы и средней арифметической этих величин равны соответственно

, (3)

. (4)

Теорема 3. Если Х – число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно наступает с постоянной вероятностью p (p не мало), то математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х соответственно равны

. (5)

Доказательство: Пусть - число появления события А в каждом испытании. Очевидно, эти случайные величины не зависимы и имеют одинаковое распределение

Тогда

Случайную величину Х представим как сумму .

Тогда, согласно формулам (1) и (3) теорем 1,2, получим искомые равенства (5).

Теорема 4. Пусть случайная величина Х определена, так же как и в теореме 3. Назовем случайную величину Х/n – частостью события А в n независимых испытаниях. Тогда математическое ожидание и дисперсия такой случайной величины вычисляют по формулам

Доказательство легко следует из формул (2), (4) и теоремы 3.

Описанная в теореме случайная величина называется биномиальной или биномиально распределенной. Вероятности ее значений вычисляются по формулам Бернулли.

Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности возможного значения X = k (числа появления события) используют формулу Пуассона

,

и говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона.

Теорема 5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины распределенной по закону Пуассона, и принимающей счетное множество значений, равны параметру распределения .