Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве
. Так как матрица симметрична, то она может быть представлена
в виде:
где – D диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а U - ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные вектора матрицы А. Как ранее отмечалось, что эти вектора в случае различных собственных чисел матрицы А являются линейно независимыми и образуют базис в .
Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса , в котором матрицa А имеет диагональный вид, и, следовательно, квадратичная форма – искомый канонический вид.
Соответствующее преобразование координат определяется соотношением:
.
ПРИМЕР 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму
,
заданную в евклидовом пространстве , к каноническому виду. Написать этот канонический вид.
Матрица квадратичной формы имеет вид:
.
Определим собственные числа этой матрицы. Имеем:
.
Раскрывая определитель, находим корни характеристического многочлена, которые являются собственными числами матрицы А. Итак, собственные числа этой матрицы суть .
Соответствующие ортонормированные собственные векторы:
и, следовательно,
.
В базисе заданная квадратичная форма имеет вид:
,
а соответствующее преобразование координат:
.
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1202;