Будем рассматривать квадратичную форму (7) в евклидовом пространстве

. Так как матрица симметрична, то она может быть представлена

в виде:

где – D диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы А, а U - ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные вектора матрицы А. Как ранее отмечалось, что эти вектора в случае различных собственных чисел матрицы А являются линейно независимыми и образуют базис в .

Столбцы матрицы U являются координатами некоторого ортонормированного базиса , в котором матрицa А имеет диагональный вид, и, следовательно, квадратичная форма – искомый канонический вид.

Соответствующее преобразование координат определяется соотношением:

.

ПРИМЕР 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму

,

заданную в евклидовом пространстве , к каноническому виду. Написать этот канонический вид.

Матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Определим собственные числа этой матрицы. Имеем:

.

Раскрывая определитель, находим корни характеристического многочлена, которые являются собственными числами матрицы А. Итак, собственные числа этой матрицы суть .

Соответствующие ортонормированные собственные векторы:

и, следовательно,

.

В базисе заданная квадратичная форма имеет вид:

,

а соответствующее преобразование координат:

.