БИЛИНЕЙНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

4.1. Линейная функция

Рассмотрим простейшие числовые функции, аргументами которых являются вектора. Простейшей числовой функцией в пространстве L является линейная функция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция называется линейной, если ставит в соответствие число и при этом выполнены условия:

.

.

Выберем в n-мерном линейном пространстве базис . Так как каждый вектор можно представить в виде:

,

то в силу свойства линейной функции имеем:

.

Итак, в линейном n-мерном пространстве с заданным базисом линейная функция может быть представлена в виде

, (1)

где постоянные, зависящие лишь от выбора базиса, а - координаты вектора в этом базисе.

Выясним, как меняются коэффициенты линейной функции при замене одного базиса другим.

Пусть и - два базиса в . Предположим, что векторы выражаются через векторы базиса следующим образом:

,

В базисе линейная функция определяется выражением

, (2)

а в базисе - выражением

. (3)

Так как

то

Следовательно, коэффициенты линейной формы преобразуются при переходе к другому базису так же, как векторы базиса этого пространства.

4.2. Билинейные формы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Выражение называется билинейной функцией (билинейной формой) от векторов и , если: