Формулы преобразования координат при изменении базиса


 

Пусть и два различных базиса в . Каждый из векторов базиса разложим по базису следующим образом:

. (13)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица вида:

,

 

в которой i-й столбец есть коэффициенты i-го уравнения системы (13).

Далее обозначим через коэффициенты вектора в первом базисе , а через его координаты во втором базисе . Пусть требуется найти связь координат через .

Имеем:

или

. (14)

Подставим в правую часть выражения (14) вместо их выражения (13). Получим:

(15)

или

Так как, система векторов линейно независима, то координаты при них в правой и левой частях равенства должны быть равны.

Имеем

,

 

или

(16)

где

.

Таким образом, координаты вектора в базисе выражаются через координаты того же вектора во втором базисе с помощью матрицы , то есть матрицы, транспонированной к .

Поскольку матрица является невырожденной, то из формулы (16) можно получить:

(17)

где координаты вектора во втором базисе выражаются через координаты в первом базисе с помощью матрицы , являющейся обратной к .

ПРИМЕР. Найти координаты вектора в базисе , состоящем из векторов .

Решение. В соответствие с формулой (13) имеем:

Запишем матрицы перехода и .

.

Обращая матрицу . и используя формулу (17), находим

То есть

.

Откуда координаты вектора в базисе принимают значения

.

 

 

 


2. ЛИНЕЙНОЕ Пространство со скалярным



Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1475;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.01 сек.