Формулы преобразования координат при изменении базиса

Пусть и два различных базиса в . Каждый из векторов базиса разложим по базису следующим образом:

. (13)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица вида:

в которой i-й столбец есть коэффициенты i-го уравнения системы (13).

Далее обозначим через коэффициенты вектора в первом базисе , а через его координаты во втором базисе . Пусть требуется найти связь координат через .

Имеем:

или

. (14)

Подставим в правую часть выражения (14) вместо их выражения (13). Получим:

(15)

или

Так как, система векторов линейно независима, то координаты при них в правой и левой частях равенства должны быть равны.

Имеем

или

(16)

где

Таким образом, координаты вектора в базисе выражаются через координаты того же вектора во втором базисе с помощью матрицы , то есть матрицы, транспонированной к .

Поскольку матрица является невырожденной, то из формулы (16) можно получить:

(17)

где координаты вектора во втором базисе выражаются через координаты в первом базисе с помощью матрицы , являющейся обратной к .

ПРИМЕР. Найти координаты вектора в базисе , состоящем из векторов .

Решение. В соответствие с формулой (13) имеем:

Запишем матрицы перехода и .