Формулы преобразования координат при изменении базиса

Пусть и два различных базиса в . Каждый из векторов базиса разложим по базису следующим образом:

. (13)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица вида:

,

в которой i-й столбец есть коэффициенты i-го уравнения системы (13).

Далее обозначим через коэффициенты вектора в первом базисе , а через его координаты во втором базисе . Пусть требуется найти связь координат через .

Имеем:

или

. (14)

Подставим в правую часть выражения (14) вместо их выражения (13). Получим:

(15)

или

Так как, система векторов линейно независима, то координаты при них в правой и левой частях равенства должны быть равны.

Имеем

,

или

(16)

где

.

Таким образом, координаты вектора в базисе выражаются через координаты того же вектора во втором базисе с помощью матрицы , то есть матрицы, транспонированной к .

.

Обращая матрицу . и используя формулу (17), находим

То есть

.

Откуда координаты вектора в базисе принимают значения

.

2. ЛИНЕЙНОЕ Пространство со скалярным