Неравенство Коши-Буняковского

Процесс ортогонализации состоит в том, что из не ортогональных, но линейно независимых векторов , можно построить систему попарно ортогональных векторов . Опишем процесс их построения. Пусть даны n линейно независимых векторов . По этим векторам построим n попарно ортогональных векторов . Сначала положим . Вектор будем искать в виде: , где число l₁ подберем таким образом, чтобы выполнялось условие .

Имеем:

(11)

Предположим, что построена система попарно ортогональных и отличных от нуля векторов . Далее вектор будем определять так:

, (12)

то есть вектор мы получаем из вектора путем "исправления" его с помощью линейной комбинации уже построенных векторов .

Коэффициенты находим из условия ортогональности вектора к векторам . Последовательно умножим соотношение (12) на , затем на и т.д. Имеем

( 13)

Так как векторы попарно ортогональны, то равенства (13) запишутся так:

Отсюда находим:

(14)

До сих пор не было использовано то, что векторы линейно независимы. Это будем использовать при доказательстве того, что построенный вектор отличен от нуля. Заметим предварительно, что вектор есть линейная комбинация векторов . Но, с другой стороны, вектор можно заменить линейной комбинацией и векторов . В итоге, вектор записывается в виде:

. (15)

Теперь ясно, что .Так как, в противном случае, правая часть равенства (15) была бы нулем, что противоречит линейной независимости векторов .

Итак, доказано, что .

Мы построили по векторам и вектор . Таким же образом по и мы построим и т.д.

Продолжая этот процесс до тех пор, пока не будут исчерпаны заданные векторы . Получаем n отличных от нуля и попарно ортогональных векторов , которые образуют ортогональный базис в исходном евклидовом пространстве .

Т е о р е м а 4. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортогональный базис.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению n-мерного пространства в нем существует базис линейно независимых векторов . С помощью процесса ортогонализации из векторов можно построить ортогональный базис , что и доказывает теорему.

2.4. Скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве

Пусть - ортогональный базис евклидова пространства Е. Найдем, как выражается скалярное произведение двух векторов через их координаты в этом базисе.

Пусть - координаты вектора , а - координаты вектора в этом базисе, то есть:

Тогда:

(16)

Если базис является ортонормированным, то есть

, (17)

то выражение (16) в таком базисе примет вид

). (18)

Таким образом, в нормированном ортогональном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат.

2.5. Изоморфизм евклидовых пространств

Если рассмотреть ряд n-мерных евклидовых пространств, то эти пространства могут отличаться одно от другого во всяком случае способом задания векторов базиса. Возникает вопрос: какие из этих пространств действительно различны и какие различия являются лишь чисто внешними?

Для того, чтобы вопрос был точно поставлен, нужно определить, какие два

евклидова пространства будем считать несущественно различающимися (изоморфными).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Два евклидовых пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что:

1 . Если и , то .

2 . Если , то .

3 . Если и , то .

Таким образом, два евклидовых пространства и изоморфны, если они изоморфны как линейные пространства. И этот изоморфизм таков, что он сохраняет скалярное произведение соответствующих векторов.