При изменении базиса

Пусть даны в n-мерном линейном пространстве два базиса: и . Причем, векторы второго базиса выражаются через векторы базиса формулами:

Матрицу

назовем матрицей перехода от базиса к базису .

Пусть есть матрица билинейной формы в базисе , а матрица той же билинейной формы в базисе . Наша задача состоит в том, чтобы по матрице найти матрицу .

По определению , то есть - значение билинейной формы при .

Для того, чтобы найти это значение, то есть , воспользуемся формулой (5), подставив в нее вместо и координаты векторов и в базисе , то есть числа и . Получим:

. (6)

Это и есть искомая формула.

Запишем ее в матричной форме. Для этого положим . Таким образом, является элементами матрицы , транспонированной к матрице С. С учетом этого выражение (6) можно записать так:

или

.

Итак, если А и В суть матрицы билинейной формы соответственно в базисах и ., то преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому будет иметь вид:

где С - матрица перехода от базиса к базису ., а - транспонированная матрица.

4.5. Квадратичные формы

Пусть - симметричная билинейная форма.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция , которая получается из билинейной формы , если положить в ней = , называется квадратичнойформой.