Определение базиса и размерность пространства L

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов и обозначается так . В противном случае, пространство L называется бесконечно мерным.

Т е о р е м а 2. Каждый вектор из можно представить, и притом единственным образом, как линейную комбинацию векторов базиса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы образуют базис в . Присоединим к ним произвольный вектор . Система векторов состоит уже из -го вектора . Поэтому по определению n-мерного пространства они должны быть линейно зависимыми, то есть

, (7)

причем

.

Число заведомо отлично от нуля, так как иначе из формулы (7) следовала бы линейная зависимость векторов . Выразим из (7) вектор .

. (7)

Таким образом, мы доказали, что каждый вектор есть линейная комбинация векторов базиса . Докажем, что вектор разлагается единственным образом по базису .

Доказательство проведем от противного.

Пусть существует два разложения

(8)

и

. (9)

Вычитая из (8) разложение (9), получим:

. (10)

Так как вектора базиса .линейно независимые, то (10) возможно лишь, если:

.

Что и требовалось доказать.

3.3. Изоморфизм n-мерных линейных пространств

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Два линейных пространства и называются изоморфными, если между векторами и можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если вектору соответствует вектор , а вектору соответствует вектор и выполнены условия:

Вектору соответствует . (11)

Вектору соответствует . (12)

Из определения изоморфизма следует, что если из . а векторы - из , то

в соответствии с равенствами (11) - (12) получаем, что линейно независимым векторам из соответствуют линейно независимые векторы из и обратно.

Заметим, что два линейных пространства различной размерности не изоморфны друг другу.