Лабораторная работа №3

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Цель работы:сформировать у студентов представления о методах решения систем нелинейных уравнений, привить умения составлять и применять алгоритмы для решения таких систем уравнений, выработать навыки в использовании программных средств для решения систем уравнений.

Метод Ньютона

Пример 3.1.

Решить систему двух нелинейных уравнений

x+3lg(x) – y² = 0

2x² – xy – 5x + 1=0

методом Ньютона.

Решение.

1. Зададим координатную сетку и вычислим значения

координат х и у в узлах сетки (рис. 3.1).

2. Построим график функции и карты линий уровня (рис. 3.2)

(на которых наглядно видно, что данная система имеет

решение, и причем единственное) с использованием панели

Graph (рис. 3.3.).

n = 100

xmin = 1 xmax = 5 ymax = 5 ymin = 1

i = 0…n j = 0..n

g(x,y) = 2x² – xy – 5x +1

M_i,j = g(x_i, y_j) N_i,j = q(x_i, y_j)

Рис. 3.1.Задание координатной сетки

Рис. 3.2.График функции и карта линий уровня

Рис. 3.3.ПанельGraph

Точки пересечения линий одинакового уровня дают решение данной системы уравнений.

4. Зададим начальное приближение переменных:

х = 3.4 у = 2.2

5. Зададим функцию, содержащую решение системы уравнений

x + 3lg(x) – y² = 0

2x² – xy – 5x + 1 = 0

Рис. 3.4.Вектор-функция, задающая систему уравнений

6. Зададим функцию (рис. 3.5.), реализующую метод Ньютона

(функция F возвращает таблицу, содержащую значения

координат х, у на каждом шаге итерации и соответствующие

значения координат вектор - функции).

Рис. 3.5.Функция, возвращающая решение системы методом Ньютона

Запустив программу, получим итерационную последовательность (рис. 3.6), которая показывает, как находятся приближения. Здесь две первые строки – это значения х и у соответственно, а последние две строки – значения данных функций при найденных значениях х и у. В ноль функции обращаются на седьмом шаге. Значит, решением будет являться пара чисел х = 3,487 и

у = 2,262.

F =

Рис. 3.6.Итерационная последовательность, полученная для решения системы нелинейных уравнений по методу Ньютона

7. Визуализируем итерационный процесс (рис. 3.7), транспонируя для этого полученную матрицу F:

F1 = F^Т

Рис. 3.7.Визуализация итерационного процесса

8. Проверяем решение системы нелинейных уравнений с помощью блока Given...Minerr (рис.3.8).

х = 3,4 у = 2,2 Given

х + 3log(x) – y² = 0

2x² – xy – 5x + 1 = 0

Z = Minerr (x, y

Рис.3.8.Проверка численного решения с помощью

встроенных функций пакета Mathcad

Вопросы по теме