Составление и линеаризация дифференциальных уравнений САУ

Процессы, происходящие в САУ, в общем случае описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, которые могут быть решены лишь в отдельных редких случаях. Однако для достаточно большого числа систем эти уравнения с приемлемой для решения практических задач точностью могут быть заменены линеаризованными.

Рассмотрим принцип линеаризации на примере системы, у которой входной и выходной сигналы связаны нелинейной статической зависимостью . Пусть в установившемся режиме величина входного сигнала равна и его отклонения от этого значения в переходных процессах достаточно малы.

Разложив нелинейную зависимость в ряд Тейлора в окружности точки установившегося режима и, отбросив члены ряда выше первого порядка малости, получим следующую приближенную зависимость:

, (2.1)

где - значение производной функции по при подстановке в выражение этой производной значения = .

Рис. 2.1. Линеаризация статической нелинейности  
Выражение (2.1) можно переписать в виде:

, (2.2)

где ; ;

.

Проведенная линеаризация имеет простую графическую интерпретацию: она соответствует (рис. 2.1) замене действительной нелинейной характеристики касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму. Коэффициент k в выражении (2.2) равен тангенсу угла наклона этой касательной относительно оси . Поэтому его величина может быть найдена простым графическим построением без нахождения аналитического выражения нелинейной зависимости и ее производной.

В более общем случае, система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, связывающим производные по времени входного и выходного сигналов:

.

(2.3)

Разложив нелинейную функцию (2.3) в ряд Тейлора в точке установившегося движения, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращения переменных:

….+

+…… ….. , (2.4)

где .., и т.д. – значения производных функции (2.3) полученные при подстановке значений входного и выходного сигналов, соответствующих установившемуся режиму.

Следовательно, процедура линеаризации нелинейных систем дает возможность описать их линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях. Очевидно, что допустимость такой линеаризации ограничена требованием к незначительности отклонений сигналов от их установившихся значений. Кроме того, поскольку такая линеаризация основана на разложении в ряд Тейлора, она применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям.

Нелинейные звенья и системы, не удовлетворяющие этому требованию, называются существенно нелинейными. К существенно нелинейным звеньям относятся звенья с прерывистыми характеристиками, например, звенья с релейными характеристиками или неоднозначными характеристиками типа петли гистерезиса.






Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 2916; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.022 сек.