Автомодельного ламинарного течения жидкости в трубе с использованием системы дифференциальных уравнений, описывающих течение жидкости в трубе

Уравнение (1.1) представляет частный случай более общего, соответствующего любому пространственному движению вязкой жидкости, закона линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Этот закон называется обобщенным законом Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, - ньютоновскими.

В соответствии с обобщенным законом Ньютона касательные напряжения t_ij пропорциональны относительным скоростям сдвиговой (угловой) деформации g_ij [2]:

(1.10)

Нормальные напряжения представляются в виде суммы двух напряжений s и s¢:

s_х = s + s_х¢; s_y = s + s_y¢; s_z = s + s_z¢.

Напряжение s - среднее арифметическое трех нормальных напряжений s_х, s_у и s_z: s = 1/3 (s_х + s_y + s_z) = - р, а s_х¢, s_y¢ и s_z¢ - добавочные нормальные напряжения, которые в соответствии с обобщенным законом Ньютона пропорциональны относительным скоростям линейной e_i и объемной e деформации [2]:

Т.е. в соответствии с обобщенным законом Ньютона нормальные напряжения записываются в виде:

(1.11)

В формулах (1.10) и (1.11): t_ху, t_ух, t_yz, t_zу, t_хz, t_zx - касательные напряжения (первый индекс обозначает ось координат, нормальную к площадке, на которую оно действует, второй - ось, на которую оно проектируется); g_ху, g_yz, g_хz - скорости сдвиговых деформаций в плоскостях x0y, y0z и x0z; u, v и w - проекции вектора скорости на оси координат x, y и z; s_х, s_у и s_z - нормальные напряжения (индексы указывают оси координат, вдоль которых действуют эти напряжения); e_x = , e_y = , e_z = - скорости относительных линейных деформаций вдоль осей x, y и z; е = - скорость относительной объемной деформации ( - дивергенция вектора скорости), р - давление.

Величина m, являющаяся коэффициентом пропорциональности в формулах, связывающих касательные и добавочные нормальные напряжения со скоростями деформаций, называется динамическим коэффициентом вязкости.

Трехмерное установившееся (стационарное) изотермическое течение несжимаемой жидкости описывается уравнениями [2]:

- неразрывности

(1.12)

- движения

(1.13)

- состояния

r = const (1.14)

В уравнениях (1.12) - (1.14) X, Y, Z - проекции напряжения объемных сил на оси координат x, y и z.

Для решения системы уравнений (1.12)-(1.14) необходимо задать граничные условия: равенство нулю проекций вектора скорости на стенках трубы (гипотеза "прилипания"), распределение давления и проекций скорости во входном сечении трубы, распределение проекций вектора объемных сил X, Y и Z по объему трубы.

Используя уравнения (1.12) и (1.13), получим уравнения для несжимаемой жидкости, движущейся в цилиндрической трубе постоянного радиуса R. Будем считать, что труба является бесконечно длинной, а ось х совпадает с осью трубы. При течении в цилиндрической трубе v = 0 и w = 0 (v и w - проекции вектора скорости на оси y и z).

С учетом этого из уравнения неразрывности (1.12) для стационарного осесимметричного течения получаем

или u = u(y,z) , (1.15)

т.е. во всех сечениях трубы распределения скоростей одинаковы.

В случае установившегося течения несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил проекции уравнения движения (1.13) принимают вид:

(1.16) (1.17) (1.18)

Из уравнений (1.16)-(1.18) следует, что давление р может быть только функцией х. Это означает, что в каждом сечении трубы давление постоянно и его изменение происходит при переходе от одного сечения к другому.

Так как правая часть уравнения (1.16) зависит только от y и z, а левая - только от х, то обе части должны быть равны одному и тому же числу:

(1.19)

где (р₁ - р₂) - перепад давления на длине l трубы.

Интегрирование уравнения (1.19) удобнее проводить в цилиндрических координатах х = х, , .

Учитывая, что

,

и заменяя частные производные полными в силу того, что u=u(r) и p=p(x), из (1.19) получим

(1.20)

После интегрирования уравнения (1.20) имеем:

,

где B и C - постоянные интегрирования.

Граничные условия (скорость конечна во всей области и равна нулю на стенках трубы) дают

B = 0;

С учетом этого

(1.21)

Уравнение (1.21) совпадает с уравнением (1.3), полученным ранее.

Выше было отмечено, что формула (1.1) является частным случаем формул (1.10). Действительно, при течении жидкости в трубе v = 0 и w = 0. Следовательно, c учетом симметрии течения согласно выражениям (1.10)