АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ПРИМЕР. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений.

Находим определители и , раскладывая их на миноры по элементам последней строки, а затем вычисляя по правилу треугольников. Имеем

,

,

После определения значений определителей и по формуле Крамера находим решение системы:

2.2. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА

Пусть дана неоднородная СЛАУ, состоящая из n линейных уравнений с n неизвестными x₁ ,x₂ , ..., x_n и правыми частями b ,b₂ , ..., b_n:

. (1)

В матричной форме эта система может быть записана так:

(2)

где

Ниже изложим метод для решения системы уравнений (1), основанный на последовательном исключении неизвестных. Этот метод связан с именем Гаусса. Имеет много различных вычислительных схем. Мы же приведем изложение, так называемой, схемы единственного деления.

Допустим, что коэффициент a₁₁¹0. Разделим коэффициенты первого из уравнений СЛАУ (1), включая и свободный член, на коэффициент a₁₁, который мы будем называть ведущим элементом 1-гошага, и обозначим

. (3)

Получим новое уравнение, которое запишем так

(4)

Исключим теперь неизвестное из всех уравнений системы (1), начиная со второго, посредством вычитания из этих уравнений уравнения (3), умноженного соответственно на числа Преобразованные уравнения будут иметь вид

(5)

где

(6)

Разделим далее коэффициенты первого из преобразованных уравнений на ведущий элемент 2-го шага который будем считать отличным от нуля. Мы получим уравнение

где

.

Исключая неизвестное из уравнений (5), начиная со второго, мы придем к уравнениям

где

Продолжая процесс по той же схеме, на m-ом шагу мы получим уравнения

(7)

где

Итак, получаем

(8)

или в матричной форме

(9)

где

Отметим, что описанный процесс возможен только при условии неравенства нулю всех ведущих элементов так как по ходу процесса на них приходится производить деление.

Из системы (8) значения для неизвестных находим последовательно от x_n к x₁ по очевидным формулам

Итак, для решения данной системы по схеме единственного деления мы сначала строим вспомогательную треугольную систему, а затем решаем ее. Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы мы будем называть прямым ходом, а процесс получения ее решения - обратным.