Метод дихотомии (бисекций).
Иначе называется методом половинного деления. Пусть задан начальный интервал [x0, x1], на котором f(x0)f(x1) ≤ 0 (т.е. внутри имеется не менее чем один корень). Найдем x2 = ½ (x0 + x1) и вычислим f(x2). Если f(x0)f(x2) ≤ 0, используем для дальнейшего деления отрезок [x0, x2], если > 0 – используем для дальнейшего деления отрезок [x1, x2], и продолжаем деление пополам.
Итерации продолжаются, пока длина отрезка не станет меньше 2ξ – заданной точности. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. В качестве иного критерия можно взять | f(x)| ≤ ξy.
Скорость сходимости метода невелика, однако он прост и надежен. Метод неприменим к корням четной кратности. Если на отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс.
Если на заданном интервале предполагается несколько корней, то существует возможность последовательно исключать найденные корни из рассмотрения. Для этого воспользуемся вспомогательной функцией , где – только что найденный корень. Для функций f(x) и g(x) совпадают все корни, за исключением (в этой точке полюс функции g(x)). Для достижения требуемой точности рекомендуется грубо приблизиться к корню по функции g(x), а затем уточнить его, используя f(x).
Метод хорд.
Идея метода проиллюстрирована рисунком. Задается интервал [x0, x1], на котором f(x0)f(x1) ≤ 0, между точками x0 и x1 строится хорда, стягивающая f(x). Очередное приближение берется в точке x2, где хорда пересекает ось абсцисс. В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбирается тот, на концах которого функция имеет разные знаки. Условия выхода из итерационного цикла: или
| f(x)| ≤ ξy.
Для вывода итерационной формулы процесса найдем точку пересечения хорды (описываемой уравнением прямой) с осью абсцисс: ax2 + b = 0, где ; b = f(x0) – ax0.
Отсюда легко выразить .
Метод хорд в большинстве случаев работает быстрее, чем метод дихотомии. Недостатки метода те же, что и в предыдущем случае.
Дата добавления: 2021-09-07; просмотров: 351;