Метод Ньютона (касательных).

Пусть x₀ – начальное приближение к корню, а f(x) имеет непрерывную производную. Следующее приближение к корню найдем в точке x₁, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (x₀, f₀), пересекает ось абсцисс. Затем точно так же обрабатываем точку (x₁, f₁), организуя итерационный процесс. Выход из итерационного процесса по условию .

Уравнение касательной, проведенной из точки (x₀, f₀): y(x) = f ^/(x₀)(x–x₀) + f(x₀) дает для y(x₁) = 0 следующее выражение:

, (1)

которое и используется для организации итерационного процесса. Итерации сходятся, только если всюду выполняется условие ; в противном случае сходимость будет не при любом начальном приближении, а только в некоторой окрестности корня. Итерации будут сходиться к корню с той стороны, с которой .

Метод обладает самой высокой скоростью сходимости: погрешность очередного приближения примерно равна квадрату погрешности предыдущего приближения. Метод можно использовать для уточнения корней в области комплексных чисел, что необходимо при решении многих прикладных задач, например при численном моделировании электромагнитных колебательных и волновых процессов с учетом временной и пространственной диссипации энергии.

Недостатком метода можно указать необходимость знать явный вид первой и второй производных, так как их численный расчет приведет к уменьшению скорости сходимости метода. Иногда, ради упрощения расчетов, используют т.н. модифицированный метод Ньютона, в котором значение f ^/(x) вычисляется только в точке x₀, при этом число итераций увеличивается, но расчеты на каждой итерации упрощаются.

Метод секущих.

В отличие от метода Ньютона, можно заменить производную первой разделенной разностью, найденной по двум последним итерациям, т.е. заменить касательную секущей. При этом первый шаг итерационного процесса запишется так:

.

Для начала итерационного процесса необходимо задать x₀и x₁, которые не обязательно ограничивают интервал, на котором функция должна менять знак; это могут быть любые две точки на кривой. Выход из итерационного процесса по условию .

Сходимость может быть немонотонной даже вблизи корня. При этом вблизи корня может происходить потеря точности, т.н. «разболтка решения», особенно значительная в случае кратных корней. От разболтки страхуются приемом Гарвика: выбирают некоторое ξ_x и ведут итерации до выполнения условия . Затем продолжают расчет, пока убывает. Первое же возрастание может свидетельствовать о начале разболтки, а значит, расчет следует прекратить, а последнюю итерацию не использовать.