Метод сеток для уравнений Пуассона и Лапласа

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области 0 ≤ x ≤ α; 0≤ y ≤ b ;

U_xx+U_yy=f(x,y) , (12.7)

(ГУ) U_r=φ(x,y) . (12.8)

Выбрав шаги по времени и по координатам, строим сетку

x_l = l·h; x₀= 0; x_l = l·h; x_n = α; y_J = J· τ; y₀= 0; y_m = b

где t = 1,2,….,n; J = 1,2,……., m.

Заменяя в каждом внутреннем узле (x_l, y_J) производные конечными разностями по формулам (12.4), получаем конечно-разностные уравнения

, (12.9)

U_0,J = φ(0,y_J)= φ_0,J; U_n,J = φ(α,y_J) = φ_n,J , (12.10)

U_l,0= φ(x,0)= φ_l,0; U_l,m= φ(x,b)= φ_l,m , (12.11)

где t = 1,2,…., n; J = 1,2,……., m .

Уравнения (12.9) вместе с условиями (12.10)-(12.11) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно U_l,J. Число неизвестных и число уравнений в системе равно числу внутренних узлов сетки. Схема узловых точек для уравнений (12.9) изображена на рис. 12.1.

Если h = τ и J_l,J = 0, то конечно-разностные уравнения имеют вид

(12.12)

Пример 1. Найти решение уравнения теплопроводности

U_xx=U_t; 0 ≤ x ≤ 1; t ≥ 0;

(НУ) U(x,0)=4·x·(1-x);

(ГУ) U(0,t)=U(1,t)=0

методом сеток с точностью до ε = 0.001 на первых трех временных уровнях, если шаг по координате Δx = h = 0,1, по времени Δt = τ = 1/600 .

Решение. Для вычисления U_l,J воспользуемся системой конечно-разностных уравнений (12.9) при g = 0 :

= ( + )+ , (12.13)

(НУ) U_l,0 = 4·x_l ·(1-x_l); l = 1,2,…., 10 , (12.14)

(ГУ) U_0,J= U_10,J=0; J=0,1,2 . (12.15)

Составим таблицу значений U_l,J (табл. 12.1) .

Таблица 12.1

В силу симметрии начальных и краевых условий относительно оси x = 0,5 решение U_l,J будет симметричным относительно этой же оси.

Это позволяет вести расчеты для t = 1,2,…., 5, а для остальных значений следует заполнить таблицу, исходя из свойства симметрии:

U_0,J = U_10,J; U_1,J = U_9,J; U_2,J = U_8,J ; U_3,J = U_7,J; U_4,J = U_6,J .

Начальная строка этой таблицы (J = 0) заполняется на основании зaданного начального условия (12.14).

В первый (l = 0) и последний (l = 10) столбцы вписываются данные граничных условий (12.15). Остальные строки таблицы последовательно заполняются с помощью применения расчетной формулы (12.13). На первом шаге

U_l,J = (1/6)· .

Например,

U_1,1 = (1/6)· = (1/6)· (0,640+4∙0,360) = 0,347 .

На втором шаге

U_l,2 = (1/6)· .

Пример 2. Применяя метод сеток с шагом h = τ =1/3, найти решениеуравнения Лапласа в квадрате с вершинами А(0,0), В(0,1), С(1,1), D(1,0), удовлетворяющее краевым условиям

U(0,y) = 30·y; U(x,1) = 30·(1-x²); U(1,y)=0; U(x,0)=0.

Решение. Конечно-разностные уравнения для уравнения Лапласа при h = τ = 1/3имеют вид:

U_0,J = 0,25· , (12.16)

(ГУ) U_0,J = 30·J·h; U_3,J = 0; (12.17)

(НУ) (U_l,0 = 0; U_l,3 = 30·(1-(l·h)²) , (12.18)

где x = l·h, y = J·h, l = 1,2,3, J = 0,1,2,3 .

Составим таблицу U_l,J (табл. 12.2)

Таблица 12.2

Первая и последняя строки этой таблицы получены из граничных условий (12.17), а первый и последний столбцы - из (12.18).

U_l,1, U_l,2, U_2,1, U_2,2 находимиз следующей системы линейных алгебраических уравнений, которые получены из расчетной формул (12.16):

.