Определенный интеграл применяется при решении многих задач в различных областях науки. В этом пункте ограничимся рассмотрением некоторых геометрических задач, при решении которых будем пользоваться определенным интегралом.
1.
(
)
ò
ò
=
=
b
a
b
a
.
тр.
.
кр.
.
dx
x
f
ydx
S
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и отрезком оси , вычисляется по формуле (рис. 5.2) (кривая приложена к оси )
(5.48)
2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и отрезком оси , вычисляется по формуле (рис. 5.3) (кривая приложена к оси )
(5.49)
3. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми , и прямыми , вычисляется по формуле (рис. 5.4)
(5.50)
4. Длина дуги кривой от до вычисляется по формуле
(5.51)
5. Длина дуги кривой от до вычисляется по формуле
(5.52)
Пример 5.45.Вычислить площадь эллипса, который описывается каноническим уравнением (см. рис. 2.25).
Решение.Так как эллипс состоит из четырех одинаковых частей, то мы вычислим площадь одной части и умножим на четыре. Итак, имеем
, прямыми 
и отрезком 
оси 
, вычисляется по формуле (рис. 5.2) (кривая приложена к оси 
, 
прямыми 
и отрезком 
оси 
, вычисляется по формуле (рис. 5.3) (кривая приложена к оси 
)
(5.49)
, 
и 
прямыми 
, вычисляется по формуле (рис. 5.4)
(5.50)
от 
до 
вычисляется по формуле
(5.51)
от 
до 
вычисляется по формуле
(5.52)
(см. рис. 2.25).
и прямыми 
, если 
