Геометрическое применение определенного интеграла.

Определенный интеграл применяется при решении многих задач в различных областях науки. В этом пункте ограничимся рассмотрением некоторых геометрических задач, при решении которых будем пользоваться определенным интегралом.

1.

(

)

ò

ò

=

=

b

a

b

a

.

тр.

.

кр.

.

dx

x

f

ydx

S

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и отрезком оси , вычисляется по формуле (рис. 5.2) (кривая приложена к оси )

(5.48)

2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми и отрезком оси , вычисляется по формуле (рис. 5.3) (кривая приложена к оси )

(5.49)

3. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной двумя кривыми , и прямыми , вычисляется по формуле (рис. 5.4)

(5.50)

4. Длина дуги кривой от до вычисляется по формуле

(5.51)

5. Длина дуги кривой от до вычисляется по формуле

(5.52)

Пример 5.45.Вычислить площадь эллипса, который описывается каноническим уравнением (см. рис. 2.25).

Решение.Так как эллипс состоит из четырех одинаковых частей, то мы вычислим площадь одной части и умножим на четыре. Итак, имеем

e 90gaA2kM7+V7hEA2WvHR53u0GEEFAAM3WnYzJQgMVK4cU7mSY04dX8TgMz5a1FwCgAEmVipoDN04 oiliII1hRBoDRxU+OjA41e+N+GixShMCDDoxrG0ESxEDRQyjihiwbh8fGHzGRzhN29QqABikxWol aY/EhVFxAY1+8XHBZ3y0eDwCcIFxrqBPS2N8pKIEZRJjyiTwAjkeMMxeDqs5/FfvRX8ss8PTZrXM jtnpv+H2y2Ge8+Kp2K7z8vP/AQAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAsbK0FuMAAAAMAQAADwAAAGRy cy9kb3ducmV2LnhtbEyPzU7DMBCE70i8g7VIXBC1m0KhIU6FkHpCFfQHKm5uvE0C8TrEbhvenu0J jqMZzXyTTXvXiAN2ofakYThQIJAKb2sqNaxXs+t7ECEasqbxhBp+MMA0Pz/LTGr9kRZ4WMZScAmF 1GioYmxTKUNRoTNh4Fsk9na+cyay7EppO3PkctfIRKmxdKYmXqhMi08VFl/LvdOwqD5f588vyffm 7ePqXc3txs92pPXlRf/4ACJiH//CcMJndMiZaev3ZINoWN8qRo8akruET50SajSZgNhquBkPRyDz TP4/kf8CAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA AFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAA AAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA4tgyjVkVAADV7wEADgAAAAAAAAAA AAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAsbK0FuMAAAAMAQAADwAAAAAA AAAAAAAAAACzFwAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAMMYAAAAAA== ">

(

)

.

ab

a

a

b

arcsin

a

arcsin

a

a

b

a

x

arcsin

a

x

a

x

a

b

dx

x

a

a

b

dx

x

a

a

b

dx

x

y

S

a

a

a

a

.

эл.

p

p

=

×

×

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

-

=

=

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

-

=

-

=

-

=

=

ò

ò

ò

Ответ:

Пример 5.46.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми

Решение.

Ответ:

Пример 5.47.Вычислить длину дуги параболы , если

Решение.

Ответ: