Рассмотрим геометрическую задачу вычисления площади криволинейной трапеции и покажем, как при ее решении приходим к понятию определенного интеграла.
Пусть на плоскости имеем криволинейную трапецию , ограниченную кривой (функция определена и непрерывна при ) и двумя прямыми и (см. рис. 5.1).
Разделим основание AD этой трапеции произвольным образом на частей (разбиение Т) и проведем ординаты соответствующих точек деления
Отметим, что эти точки деления называются точками разбиения T. Возьмем - тую элементарную трапецию и заменим ее приближенно прямоугольником с основанием и высотой , где есть абсцисса произвольной точки из сегмента . Тогда площадь - той трапеции приближенно равна площади - го прямоугольника, т.е. . Если суммировать площади всех элементарных прямоугольников , то получим приближенную площадь криволинейной трапеции ABCD в виде
(5.35)
Очевидно, что точное значение криволинейной площади получим, если в (5.35) перейдем к пределу, когда max , т.е.
(5.36)
Конечный предел (5.36) называется определенным интегралом и обозначается так:
(5.37)
Определенный интеграл (5.37) вычисляем, основываясь на теорему Ньютона-Лейбница. Согласно этой теореме имеем
(5.38)
где одна из первообразных функции
Ниже приведем некоторые основные свойства определенного интеграла:
1. Определенный интеграл от интегрируемой функции в пределах от до равен нулю, т.е.
(5.39)
2. При перестановке пределов интегрирования в определенном интеграле знак интеграла меняется на обратное, т.е. если и интегрируема на сегменте , то
. (5.40)
3. Если функции и интегрируемы на сегменте , то функции и также интегрируемы на сегменте и
. (5.41)
4. Если функция интегрируема на сегменте , то , где , также интегрируема на сегменте и
. (5.42)
5. Если функция интегрируема на сегментах и , где то она интегрируема и на сегменте , причем
. (5.43)
6. Если функция интегрируема на сегменте , то также интегрируема на этом сегменте и справедливо неравенство
. (5.44)
7. Если функции и интегрируемы на сегменте и , на этом сегменте, то справедливы неравенства
. (5.45)
Заметим, что если при вычислении определенного интеграла производим замену переменной , то пределы интегрирования меняются и имеем
(5.46)
Отметим также, что формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид
имеем криволинейную трапецию 
, ограниченную кривой 
(функция 
определена и непрерывна при 
) и двумя прямыми 
и 
(см. рис. 5.1).
частей (разбиение Т) и проведем ординаты соответствующих точек деления
называются точками разбиения T. Возьмем 
- тую элементарную трапецию и заменим ее приближенно прямоугольником с основанием 
и высотой 
, где 
есть абсцисса произвольной точки из сегмента 
. Тогда площадь 
. Если суммировать площади всех элементарных прямоугольников 
, то получим приближенную площадь криволинейной трапеции ABCD в виде
получим, если в (5.35) перейдем к пределу, когда max 
, т.е.
(5.36)
(5.37)
(5.38)
одна из первообразных функции 
в пределах от 
до 
равен нулю, т.е.
(5.39)
и 
интегрируема на сегменте 
, то
. (5.40)
и 
интегрируемы на сегменте 
, то функции 
и 
также интегрируемы на сегменте 
. (5.41)
, где 
, также интегрируема на сегменте 
. (5.42)
и 
, где 
то она интегрируема и на сегменте 
, причем
. (5.43)
также интегрируема на этом сегменте и справедливо неравенство
. (5.44)
интегрируемы на сегменте 
, 
на этом сегменте, то справедливы неравенства
. (5.45)
производим замену переменной 
, то пределы интегрирования меняются и имеем
(5.46)
(5.47)
