Определение и вычисление определенного интеграла.

Рассмотрим геометрическую задачу вычисления площади криволинейной трапеции и покажем, как при ее решении приходим к понятию определенного интеграла.

Пусть на плоскости имеем криволинейную трапецию , ограниченную кривой (функция определена и непрерывна при ) и двумя прямыми и (см. рис. 5.1).

Разделим основание AD этой трапеции произвольным образом на частей (разбиение Т) и проведем ординаты соответствующих точек деления

Отметим, что эти точки деления называются точками разбиения T. Возьмем - тую элементарную трапецию и заменим ее приближенно прямоугольником с основанием и высотой , где есть абсцисса произвольной точки из сегмента . Тогда площадь - той трапеции приближенно равна площади - го прямоугольника, т.е. . Если суммировать площади всех элементарных прямоугольников , то получим приближенную площадь криволинейной трапеции ABCD в виде

(5.35)

Очевидно, что точное значение криволинейной площади получим, если в (5.35) перейдем к пределу, когда max , т.е.

(5.36)

Конечный предел (5.36) называется определенным интегралом и обозначается так:

(5.37)

Определенный интеграл (5.37) вычисляем, основываясь на теорему Ньютона-Лейбница. Согласно этой теореме имеем

(5.38)

где одна из первообразных функции

Ниже приведем некоторые основные свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл от интегрируемой функции в пределах от до равен нулю, т.е.

(5.39)

2. При перестановке пределов интегрирования в определенном интеграле знак интеграла меняется на обратное, т.е. если и интегрируема на сегменте , то

. (5.40)

3. Если функции и интегрируемы на сегменте , то функции и также интегрируемы на сегменте и

. (5.41)

4. Если функция интегрируема на сегменте , то , где , также интегрируема на сегменте и

. (5.42)

5. Если функция интегрируема на сегментах и , где то она интегрируема и на сегменте , причем

. (5.43)

6. Если функция интегрируема на сегменте , то также интегрируема на этом сегменте и справедливо неравенство

. (5.44)

7. Если функции и интегрируемы на сегменте и , на этом сегменте, то справедливы неравенства

. (5.45)

Заметим, что если при вычислении определенного интеграла производим замену переменной , то пределы интегрирования меняются и имеем

(5.46)

Отметим также, что формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

(5.47)

Пример 5.34.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.35.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.36.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.37.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.38.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.39.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.40.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.41.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.42.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ:

Пример 5.43.Вычислить определенный интеграл

Решение.

(

)

.

a

sin

sin

a

a

t

sin

a

t

a

tdt

cos

a

dt

a

dt

t

cos

a

tdt

cos

a

tdt

cos

t

sin

a

dt

t

sin

a

a

t

cos

a

t

,

a

x

,

t

x

,

a

x

arcsin

t

,

a

x

t

sin

,

t

acostdt

dx

,

t

sin

a

x

dx

x

a

a

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

=

-

+

=

+

=

+

=

+

=

=

=

-

=

-

×

=

=

=

=

Þ

=

=

=

=

=

=

-

ò

ò

ò

ò

ò

ò

ò

Ответ:

Пример 5.44.Вычислить определенный интеграл

Решение.

Ответ: