Несобственный интеграл первого рода и его вычисление.

Если подынтегральная функция в определенном интеграле непрерывная (тогда она ограничена), а один из пределов или оба предела бесконечные, то имеем дело с несобственным интегралом первого рода (см. рисунки 5.5, 5.6, 5.7). Способ вычисления несобственного интеграла первого рода приведен ниже.

1. (5.53)

2. (5.54)

3. (5.55)

Если в результате вычисления пределов (5.53) – (5.55) получаем конечные числа, то говорим, что несобственный интеграл первого рода сходится, а если получаем бесконечность или вообще нет пределов, то говорим, что несобственный интеграл расходится. Заметим, что несобственный интеграл первого рода, как определенный интеграл, геометрически определяет площадь криволинейной трапеции (см. рисунки 5.5 – 5.7). Если несобственный интеграл сходится, то площадь криволинейной трапеции конечное число, а если расходится, то площадь криволинейной трапеции бесконечно большое число или вообще не определяется. Очевидно, что, если (см. рисунок 5.8), то расходится, то есть площадь криволинейной трапеции стремится к бесконечности.

Теорема 5.1.Для сходимости необходимо выполнение условия

Суть этой теоремы в том, что, если сходится, то следует, что подынтегральная функция на бесконечности стремится к нулю. Но из выполнения условия не следует сходимость несобственного интеграла. Оказывается, что сходимость или расходимость несобственного интеграла зависит от того, по какому правилу или закону подынтегральная функция на бесконечности стремится к нулю. Для выяснения этого вопроса рассмотрим поведение несобственного интеграла первого рода от функции при различных значениях (см. рисунок 5.9).

1.

(5.56)

(5.56) показывает, что в случае несобственный интеграл первого рода расходится.

2.

(5.57)

(5.57) показывает, что в случае несобственный интеграл первого рода расходится.

3.

(5.58)

(5.58) показывает, что в случае несобственный интеграл первого рода расходится.

4.

(5.59)

Так как в результате вычисления интеграла получили конечное число (см. (5.59)), то в этом случае несобственный интеграл первого рода сходится.

Пример 5.52.Вычислить интеграл

Решение.

Ответ:интеграл сходится и