Интегрирование рациональных дробей.
Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.
Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:
= (4)
где -число;
Дроби вида , где k, l - натуральные числа,
- простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.
Определение. Дробь называется правильной, если (здесь
m иnстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно. Если m≥n , дробь называется неправильной.
Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: .
Можно доказать следующую теорему.
Теорема. Любая правильная рациональная дробь , где многочлен, определённый равенством (4), может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n — степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:
1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ;
2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:
В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:
(5)
Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике.
Пример: Разложить дробь на простейшие дроби.
Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители: .
Тогда ;
Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть .
Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:
.
Решая ее, находим, что
Окончательно положим .
Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение:Разложим дробь на простейшие:
Тогда .
Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:
Отсюда
Следовательно, .
Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.
Пример: Найти .
Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).
Тогда .
Разложим дробь на простейшие дроби:
;
Отсюда
Следовательно,
Но тогда:
=
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1400;