Интегрирование биноминального дифференциала.

Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение вида:

(1),

где a, b - некоторые вещественные числа. m, n, p - рациональные числа.

Известно три случая интегрирования биноминального дифференциала.

I) p- целое число. Биноминальный дифференциал превращается в дробно-линейную иррациональность, , где -наименьшее общее кратное знаменателей m и n.

Пример:

Биноминальный дифференциал (1) всегда может быть представлен в виде:

(2)

, ,

.

величину обозначим через .

Из представления (2) следует второй случай интегрируемости биноминального дифференциала. Если =целому числу то выражение (2) также является дробно-линейной иррациональностью.

, где - знаменатель числа p.

Если g=целое число, то выражение также является целым числом.

Второй случай интегрируемости определяется соотношением: и рационализация осуществляется подстановкой

Пример:

III) Выражение (2) можно представить в виде:

(3)

Третий случай интегрируемости биноминального дифференциала соответствует целому числу g+p, то есть целое число.

При этом выражение (3) является дробно линейной иррациональностью вида: . В этом случае рационализация достигается подстановкой: . Таким образом, интеграл от биноминального дифференциала выражается через элементарные функции, если окажется целым одно из чисел.

Эти случаи интегрируемости были известны ещё Ньютону, однако в середине позапрошлого века Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), доказал замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биноминальных дифференциалов не существует.

Пример: Вычислить интеграл