Интегрирование биноминального дифференциала.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение вида:
(1),
где a, b - некоторые вещественные числа. m, n, p - рациональные числа.
Известно три случая интегрирования биноминального дифференциала.
I) p- целое число. Биноминальный дифференциал превращается в дробно-линейную иррациональность, , где -наименьшее общее кратное знаменателей m и n.
Пример:
Биноминальный дифференциал (1) всегда может быть представлен в виде:
(2)
, ,
.
величину обозначим через .
Из представления (2) следует второй случай интегрируемости биноминального дифференциала. Если =целому числу то выражение (2) также является дробно-линейной иррациональностью.
, где - знаменатель числа p.
Если g=целое число, то выражение также является целым числом.
Второй случай интегрируемости определяется соотношением: и рационализация осуществляется подстановкой
Пример:
, , , |
III) Выражение (2) можно представить в виде:
(3)
Третий случай интегрируемости биноминального дифференциала соответствует целому числу g+p, то есть целое число.
При этом выражение (3) является дробно линейной иррациональностью вида: . В этом случае рационализация достигается подстановкой: . Таким образом, интеграл от биноминального дифференциала выражается через элементарные функции, если окажется целым одно из чисел.
Эти случаи интегрируемости были известны ещё Ньютону, однако в середине позапрошлого века Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894), доказал замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биноминальных дифференциалов не существует.
Пример: Вычислить интеграл
, , , , , , |
Дата добавления: 2017-06-13; просмотров: 1135;