Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

Интегрирование по частям.

Пусть u и v – дифференцируемые функции от х.

Тогда . Интегрируя обе части тождества в пределах от а до в, получим:

. (1)

Так как то │ ; поэтому равенство (1) может быть записано в виде: uv│ = , или окончательно

│ - .

Пример: = = =1.

Интегрирование с заменой переменной.

Теорема.

Пусть дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на [a,b]. Введем новое переменное формуле x= .

Если 1)

2) и непрерывны на отрезке [t₁,t₂],

3) определена и непрерывна на отрезке [t₁,t₂], то , где , . (1)

Доказательство:

Если F(x) есть первообразная для функции f(x),то можем написать следующие равенства:

(2)

(3)

Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по t. Из равенства (2) получаем:

│ .

Из равенства (3) получаем:

│ .

Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.

Теорема доказана.

Замечание: При замене переменной в определённом интеграле нужно поменять пределы интегрирования, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

Пример:

= = = = = .