Интегрирование выражений, содержащих
, , или .
Они сводятся к тригонометрическим функциям.
Случай 1. .
Замена: (или ).
Рассмотрим замену . На самом деле надо было записать , ведь по идее, для замены надо вводить новую переменную и выражать её через старую. Однако, запомнить здесь вам будет легче именно «обратную» замену в виде .
Далее получается , а корни в этом выражении исчезают так: = = . Таким образом, всё сводится к тригонометрическим функциям.
Пример.Вычислить интеграл .
Здесь , потому что .
Замена . Корень при этом превратится в .
Итак, = = = .
после обратной замены, это .
Можем упростить композицию прямой и обратной тригонометрических функций с помощью чертежа, как это делали недавно. Надо найти косинус того угла, синус которого равен . Подпишем противолежащий катет и гипотенузу, и 2. тогда третья сторона по теореме Пифагора .
Ну а тогда косинус равен .
= = .
Примечание. Этот пример можно было решить и другим методом: подведением под знак дифференциала.
Пример.С помощью данной замены доказать формулу из таблицы интегралов:
Сделаем замену , тогда = = = , и обратная замена приводит к .
Случай 2. .
Здесь замена (либо аналогично ).
Подробнее рассмотрим, как и почему исчезает корень квадратный при замене . При этом ,
= = = = = . Таким образом, все корни преобразуются в тригонометрические функции.
Случай 3. .
Замена (либо ). Как действует такая замена.
, = = = = = . .
Итак, корни вида , , могут быть преобразованы к тригонометрическим функциям с помощью замены.
А тогда уже 2-я замена после этого приведёт к рациональной дроби, для которых затем разложение на простейшие. То есть, здесь бывают задачи, которые решаются в 3 шага, рассмотрим их на практике.
ЛЕКЦИЯ № 3. 28. 02. 2017
Дата добавления: 2017-04-05; просмотров: 1304;