Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение: Первообразной F(x) для функции f(x) на промежутке называют функцию, производная которой
.
Пример. Для функции : первообразная
на R, так к
при любом х.
Лемма.Если производная функции на промежутке , то
.
Доказательство: По теореме Лагранжа для любых x1, x2 Î выполняется , где
, так как
Þ
Þ
Þв силу произвольности точек x1 и x2 F(x) = C(const).
Ч.т.д.
Теорема: Пусть функция F(x) – первообразная f(x), Ф(x) – другая первообразная f(x) Þ F(x)=Ф(x)+С.
Доказательство: так как Þ по Лемме
Þ
.
Ч.т.д.
Таким образом, из теоремы следует, что выражение описывает все множество первообразных функции f(x).
Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) по переменной x называется множество всех её первообразных , где
.
ò ‒ знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интеграла, ‒ подынтегральное выражение, С – const интегрированная.
Вычисление неопределенного интеграла называют интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно продифференцировав результат.
;
- верно.
Свойства неопределенного интеграла.
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() | |
![]() |
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1307;