Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций.

Пусть - рациональная функция своихаргументов. Тогда интеграл находится заменой переменных

Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть — рациональная функция своих аргументов. Рассмотрим несколько случаев:

Й случай.

Интеграл универсальной тригонометрической подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции. При этом .

С учетом сделанной замены получим

,

где - рациональная функция, интеграл от которой рассматривался выше.

Пример: Найти неопределенный интеграл: .

Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку:

; .

Тогда .

Отметим, что универсальную тригонометрическую подстановку, как правило, используют в тех случаях, когда другие подстановки, приведенные ниже не приводят к желаемым результатам.

Й случай.

В интегралах , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена . При этом

.

Этой же подстановкой к интегралам от рациональных функций приводятся интегралы вида .

Пример: Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Сделаем подстановку:

; .

Тогда

.

Пример. Найти неопределенный интеграл: .

Решение:

3-й случай. Интегрирование выражений вида

, (6)

где mи n-целые числа. Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m,nесть хотя бы одно нечетное. Тогда за tпринимается функция, стоящая в основании другой степени.

Пример. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Здесь функция стоит в нечетной степени, поэтому

;

б) В выражении (6) оба числаm,n- четные неотрицательные.

Положим m=2p, n=2q и применим формулы:

.

Тогда

Раскрыв скобки, получим сумму интегралов, к каждому из которых применим 1-й или 2-й способы:

.