Циркуляция вектора магнитной индукции.

Циркуляцией вектора магнитной индукции по заданному замкну-тому контуру называется интеграл по этому контуру:

где dl – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль об-

хода контура; B_l = Bcosα – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода;

α − угол между векторами B и dl .

L

Рис. 1.5.1

Для магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током силой I, находящегося в вакууме, рассчитаем циркуляцию век-тора магнитной индукции вдоль некоторого замкнутого контура L, ох-

ватывающего проводник с током, т. е. вычислим интеграл ∫ B_l dl . Для

L

этого мысленно разобьем контур L на элементы длиной dl (рис. 1.5.1). При вычислении циркуляции нужно учитывать направление (знак) силы тока по отношению к выбранному направлению обхода контура. Правило знаков для токов:сила тока считается положительной,еслинаправление тока и направление обхода контура удовлетворяют пра-вилу правого винта (буравчика), ток противоположного направления считается отрицательным.

С учетом выражения (1.3.5) для магнитной индукции прямолиней-ного тока в вакууме определим циркуляцию вектора B по контуру L:

(1.5.2)

Из рисунка видно, что:

_{dl =} dl ^*₌ Rdα_.cosβ cosβ

Подставим выражение (1.5.3) в (1.5.2):

^μ₂⁰_π^{I 2}_∫0^π dα=μ₀ I.

(1.5.3)

(1.5.4)

Далее рассмотрим случай , когда замкнутый контур L не охваты-вает проводник с током, т. е. такой ток не пронизывает поверхность этого контура (рис. 1.5.2). При вычислении циркуляции интеграл по L

b

α₂

α₁ α

Рис. 1.5.2

При интегрировании на участке 1а2 угол α изменяется от α₁ до α₂, на участке 1b2 угол α изменяется от α₂ до α₁. В результате с уче-том предыдущего получаем:

Таким образом, рассмотрев два случая, можно сделать следую-щий вывод:

Это утверждение справедливо для магнитных полей, созданных проводниками с током любой формы и размеров, т. е. формула универ-сальна. Поэтому, если поле создается системой произвольных по форме проводников с токами силой I_i (i = 1, 2, ..., n), то с помощью формулы (1.5.7) и принципа суперпозиции магнитных полей (1.1.2) можно рас-считать циркуляцию напряженности B результирующего поля

где k ≤ n.

В результате преобразований мы получили теорему о циркуля-ции вектораBв вакуумев интегральной форме(или иначезакон полного тока для магнитного поля в вакууме):циркуляция векторамагнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром

где k – число проводников с токами, охватываемое контуром L произ-вольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме. Из получен-ного результата следует, что магнитное поле непотенциально, оно вихревое.

Так как магнитная индукция в вакууме связана с напряженностью магнитного поля соотношением B = μ₀ H , то можно получить теорему о циркуляции напряженности в интегральной форме

цией вектора напряженности электрического поля E существует сле-дующее различие:

1) циркуляция вектора E электростатического поля всегда равна нулю, то есть поле является потенциальным;

2) циркуляция вектора B магнитного поля не равна нулю, то есть такое поле является вихревым.

Получим теорему о циркуляции магнитной индукции в вакууме в дифференциальной форме. Если контур L находится в сплошной про-водящей среде , то значение полного тока, пронизывающего поверх-ность контура, можно определить, как поток вектора плотности тока через поверхность S, ограниченную этим контуром

Уравнение (1.5.14) математически выражает тот факт , что маг-нитное поле имеет вихревой характер и его источниками являются электрические токи.