Экспоненциальное сглаживание рядов динамики

Экспоненциальное сглаживание представляет собой модифицированный метод наименьших квадратов, при котором более поздним наблюдениям придается больший вес, что учитывает их большую информационную ценность. Осуществляется с помощью экспоненциально–взвешенных скользящих средних, или кратко, экспоненциальных средних:

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t ; x_t – уровень ряда в момент t ; – постоянная сглаживания

Экспоненциальную среднюю можно записать следующим образом:

Для того, чтобы экспоненциальную среднюю выразить через значения ряда динамики x , используются указанные рекуррентные соотношения. Например, при трех уровнях ряда

В общем виде экспоненциальная средняя в момент t имеет следующий вид:

где N – число уровней ряда; S₀ – начальное значение экспоненциальной средней.

При , а сумма коэффициентов

Тогда

Эта величина равна средней взвешенной всех членов ряда, причем веса падают по мере увеличения давности наблюдения.

Процедура экспоненциального сглаживания работает как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. Чем меньше постоянная сглаживания , тем в большей степени подавляются колебания исходного ряда.

Повторное применение экспоненциального сглаживания к результатам предшествующего экспоненциального сглаживания позволяет получить экспоненциальные средние более высоких порядков. Многократное экспоненциальное сглаживание используется при прогнозировании уровней ряда динамики.