ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Теория теплопроводности является феноменологической теорией, она не рассматривает механизм процесса распространения теплоты, а ограничивается описанием этого процесса на основе закона сохранения энергии и закона Фурье.

Основным уравнением математической теории теплопроводности является дифференциальное уравнение с частными производными, связывающее временное и пространственное изменение температуры в сплошной среде (газе, жидкости или твердом теле). Оно выводится на основании закона сохранения энергии (первый закон термодинамики) и закона Фурье и выражает тепловой баланс для малого элемента объема среды с учетом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности. Для изотропной однородной неподвижной среды с теплопроводностью λ, удельной теплоемкостью при постоянном объеме с_v и плотностью ρ, не зависящими от температуры, а также с равномерно распреде-ленными внутренними источниками теплоты (появление внутренних источников может быть вызвано, например, физико-химическими превращениями в процессе горения, когда химический процесс сопро-вождается экзотермическим, а в некоторых случаях и параллельным эндотермическим, эффектом) дифференциальное уравнение теплопро-водности имеет вид:

∂Т/ ∂t = αѲ Т + q_v/ρc, (2.8)

где α = λ/ρc - физическое свойство вещества, характеризующее

скорость выравнивания температуры в неравномерно

нагретом теле и называемоекоэффициентом тем-

пературопроводности (численные значения α при-

ведены в таблице 2.1);

q_{v -} мощность внутренних источников теплоты, которая

представляет собой количество теплоты, выделяемой

(поглощаемой) источниками (стоками) в единице

объема тела за единицу времени;

Ѳ - оператор Лапласа:

в прямоугольных координатах x, y, z

Ѳ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² ; (2.9)

в цилиндрических координатах r, j, z

Ѳ = ∂²/∂r² + 1/r ∙_·∂/∂ r + 1/r² ∙ ∂²/∂j² + ∂²/∂z². (2.10)

В тех случаях, когда температурное поле оказывается двухмерным или одномерным, оператор Лапласа соответственно упрощается за счет тождественного равенства нулю производных по тем координатам, от которых температура не зависит.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности содержит постоянные интегрирования и потому не является однозначным. Для оценки этих констант необходимо задать частные особенности изучае-мого явления (конкретной задачи теплопроводности). Математическую формулировку частных особенностей явления называюткраевыми условиями илиусловиями однозначности.

Для большинства практических задач, в которых рассмотрение явления теплопроводности ограничено пределами данного тела, разли-чают три рода таких условий:

1) граничные условия первого рода – на поверхности тела задано распределение температуры Т_п в каждый момент времени; в простей-шем случае температура поверхности тела может поддерживаться по-стоянной;

2)граничные условия второго рода – на поверхности тела задано распределение плотности теплового потока q_п в каждый момент времени. Это распределение может быть равномерным и не изменяться во времени, в частности если поверхность теплоизолирована, то

(∂Т/ ∂n)_п = 0; (2.11)

3)граничные условия третьего рода – известна (задана) температура окружающей тело среды и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой.

Законы конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой отличаются большой сложностью и будут рассмотрены в разделе «Конвективный теплообмен». В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона:

q = α (Т_ст – Т_ж), (2.12)

где q - плотность теплового потока, Вт/м²;

Т_ст – температура поверхности тела (стенки), К;

Т_ж – температура окружающей среды (жидкости или газа), К;

α – коэффициент пропорциональности, называемыйкоэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²∙_·К).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1⁰C. Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов, но при решении задач теплопроводности твердого тела его принимают в большинстве случаев постоянной величиной.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.

α (Т_ст– Т_ж) = - λ(∂Т/ ∂n)_п . (2.13)

Полученное равенство является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительным для каждого момента времени.

Наряду с прямой задачей теплопроводности – отысканием температурного поля Т= f(x,y,z,t) путем решения дифференциального уравнения теплопроводности с известными краевыми условиями – возможна постановка и обратной задачи, где по заданному в пространстве и во времени распределению температур требуется определить соответствующие краевые условия (либо начальное распределение температуры, либо граничные условия) или физические свойства вещества λ, с и ρ.

Контрольные вопросы

1. Что называется температурным полем?
2. Напишите уравнение температурного поля при нестационарном (неустановившемся) тепловом режиме.
3. Напишите уравнение температурного поля при стационарном режиме.
4. Что называется изотермической поверхностью и изотермой?
5. Что называется градиентом температуры?
6. Что называется плотностью теплового потока?
7. Напишите математическое выражение закона Фурье.то называется коэффициентом теплопроводности?
8. От каких факторов зависит коэффициент теплопроводности?
9. Опишите особенности теплопроводности различных веществ.
10. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
11. Опишите граничные условия первого, второго и третьего рода.
12. Закон Ньютона для конвективного теплообмена.
13. Что называется коэффициентом теплоотдачи?