СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ

Как мы уже говорили, закон распределения или плотность распределения несёт полную информацию о случайной величине.

На практике довольно часто требуется сравнить две случайные величины. Довольно полно это можно сделать, если сопоставить графики их законов или плотностей распределения.

Но в большинстве случаев желательно, чтобы итог сравнения выражался количественно, т.е. числом, а не просто общим впечатлением от вида графиков.

Поэтому хотелось бы иметь числовые характеристики, которые бы описывали существенные черты закона распределения или плотности распределения, причём любого вида.

Наиболее простыми и одновременно самыми важными, а поэтому самыми часто употребительными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание (среднее) и дисперсия (рассеяние).

Кроме них существуют и другие, но они применяются реже, и мы их рассматривать не будем.

Математическое ожидание случайной величины Х является вероятностным обобщением хорошо известного всем со школы понятия среднего арифметического, которое, кстати, применяется в статистике.

Со среднего арифметического и начнём. Выразим его с помощью более общей формулы, которая позволит вычислять математическое ожидание.

Вначале рассмотрим дискретную случайную величину Х с N возможными значениями. (У кубика – 6 возможных значений.)

Пусть с этой случайной величиной проделано n одинаковых опытов («эн» маленькое). Например, кубик бросался 100 раз.

При этом случайная величина Х (икс большое)

значение приняла раз, т.е. – ,

значение приняла раз, т.е. – ,

и так далее …,

значение приняла раз, т.е. – .

Общее количество появления всех значений равно n, т.е.

Найдём среднее арифметическое случайной величины Х по n опытам.

Среднее арифметическое – это, как известно, сумма всех значений, делённая на их количество:

.

Преобразуем это выражение, учтя повторяемость значений:

Теперь для сокращения длины формулы воспользуемся специальным знаком суммы, который мы уже рассматривали,

Дробь в каждом слагаемом – это вычисленная по n опытам частота события, состоящего в том, что случайная величиной Х примет значение . Мы её обозначали так: .

В итоге получаем:

Так, введя некоторые обозначения, мы преобразовали выражение для среднего арифметического.

Из полученного выражения видно, что среднее арифметическое вычисляется как сумма значений случайной величины, взятых с множителями, в качестве которых выступают частоты .