МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
В статистике, как только что было получено, среднее арифметическое по известным результатам n опытов вычисляется так
Начнём неограниченно увеличивать число опытов
n ® ¥
При этом частота каждого возможного значения случайной величины сходится к некоторому числу, называемому и являющемуся вероятностью этого значения
.
А выражение для среднего арифметического переходит в выражение, которое и соответствует математическому ожиданию дискретной случайной величины
В формуле для математического ожидания вместо частот стоят вероятности значений, а возле буквы M уже не пишется буквочка n.
N (большое) – это, по-прежнему, количество возможных значений.
– возможные значения дискретной случайной величины (их N штук).
– значения закона распределения дискретной случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величинывычисляется как сумма произведений всех значенийслучайной величины на их вероятности.
Смысл математического ожидания: математическое ожидание – это среднее значение случайной величины. Т.е. тот же, что и у среднего арифметического.
В теории вероятностей математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется без проведения каких-либо опытов по известным значениям закона распределения. Поэтому другое его название – теоретическое среднее.
Вычислим математическое ожидание для какого-нибудь простого случая: например, для опыта с монетой.
«Орлу» мы ставили в соответствие 0, а «решке» – 1.
Закон распределения для монеты, мы помним, выглядит так:
Вычисляем математическое ожидание. У нас всего два возможных значения, следовательно, меняется от 1 до 2.
i=1 соответствует «орёл», т.е. 0, а i=2 – «решка», т.е. 1. Вероятности этих обоих значений одинаковы и равны 0.5.
M(X) = = P(x1) × x1 + P(x2) × x2 = 0.5 × 0 + 0.5 × 1 = 0.5
Получилось 0.5. Что это за число?
Это число лежит посередине между возможными значениями нашей случайной величины.
Теперь более сложный предмет.
Представим, что у нас игральный кубик, у которого грани закрашены двумя красками: четыре грани – в чёрный цвет, а оставшиеся две – в белый.
В 4 случаях из 6 у кубика будет выпадать чёрная грань, а в 2 случаях — белая.
Таким образом, вероятность чёрного будет в 2/3, а белого – 1/3.
Чёрному цвету припишем значение 0; а белому – 1.
Вычислим математическое ожидание такого закона распределения.
M(X) = P(x1) × x1 + P(x2) × x2 = 2/3 × 0 + 1/3 × 1 = 1/3.
Видим, что, если получившееся значение отметить на горизонтальной оси, то оно окажется ближе к более высокому столбику. А если мы представим, что столбики сделаны из металла, то чем выше столбик, тем он тяжелее. В итоге, математическое ожидание будет расположено ближе к более тяжёлому столбику.
И сейчас пришло время познакомиться с одним важным свойством математического ожидания.
Представим такой опыт: на невесомой линейке в точках, равных значениям случайной величины, размещены гирьки с весами, пропорциональными вероятностям соответствующих значений.
Если теперь подвести под линейку опору в точке математического ожидания, то получившиеся качели или весы окажутся в равновесии.
Точка математического ожидания находится под центром тяжести таких весов.
Любопытно то, что даже если закон распределения будет сложнее, т.е. будет состоять из многих столбиков, картина будет той же.
67 г |
33 г |
M(X) |
Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины соответствует абсциссе центра тяжести закона распределения. Абсцисса – это, кто забыл, координата на горизонтальной оси.
И ещё об одном понятии, которое будет использоваться в дальнейшем.
Операция усреднения – это суммирование каких-либо значений с множителями, равными их вероятностям.
Это, как раз, та математическая операция, которая используется при вычислении математического ожидания.
Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 406;