ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для удобства дальнейших рассуждений договоримся обозначать случайную величину, которая заранее непредсказуемым образом может принимать различные значения, большой буквой, например, X, а её возможные значения, т.е. числа на оси, одноимённой маленькой, в данном случае: x.

Как мы теперь знаем, закон распределения дискретной случайной величины показывает, насколько одно значение более вероятно, чем другое.

Нужна подобная характеристика и для непрерывной случайной величины.

К сожалению, для непрерывной случайной величины мы не можем опираться на классическое определение вероятности, т.к. количество элементарных исходов бесконечно, а вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо конкретное значение х₀ , исчезающе мала:

P(X=x₀) = P(x₀) » 0 .

Поэтому прибегнем к «хитрости», которой мы пользовались при рассмотрении доски Гальтона и геометрического определения вероятности.

Наша случайная величина – это координата точки падения шарика на ось.

На оси возможных значений случайной величины X выберем точку х₀.

Рассмотрим малый интервал Dx, включающий в себя интересующее значение х₀

,

а также вероятность попадания в него случайной величины X

Подробный вывод требует, чтобы слева было нестрогое неравенство, а справа – строгое.

Начнём теперь сокращать протяжённость интервала Dx

Dx ® 0 .

При этом вероятность попадания в него также начнёт уменьшаться, стремясь к нулю

® 0 .

Рассмотрим отношение этих двух величин

=

Несмотря на то, что и числитель, и знаменатель в этой дроби одновременно будут стремиться к нулю, дробь будет стремиться к некоторой ненулевой величине:

p(x₀).

При рассмотрении доски Гальтона мы дали этой величине название: плотность вероятности.

Теперь пришла пора обратить внимание на то, что полученная величина зависит от значения точки х₀, поэтому в общем случае она является функцией координаты p(x). Чтобы подчеркнуть это обстоятельство плотность вероятности ещё называют плотностью распределения вероятности или, более кратко, плотностью распределения.