Распределение Пуассона

Рассматривая закон биноми­ального распределения (6), можно задать следующие условия: число опытов n стремится к бесконечности, а вероятность р стре­мится к нулю, при этом их произведение a = n*р сохраняет по­стоянное значение. Такое предельное представление биномиально­го распределения называется распределением Пуассона и может быть выражено, как показывает Е. С. Вентцель [1], формулой:

(7)

позволяющей найти для записанных выше условий вероятность появления некоторого события а при большом числе n независи­мых опытов, в каждом из которых событие а имеет очень малую вероятность р.

Иногда распределение Пуассона называют законом редких яв­лений. Покажем его применение на примере. пусть известно, что на ткацком станке нить обрывается в среднем 0,25 раза за один час работы станка (р=0,25). определить вероятность того, что за во­семь часов работы произойдет три обрыва нити (т=3).

Для решения определим и по формуле (7) получаем искомый результат:

Из формулы (6) можно получить вероятность появления со­бытия хотя бы один раз в некоторой группе n:

(8)

Зависимость (8) используют для решения, например, таких задач: определить вероятность поражения малоразмерной цели при стрельбе по площади.

Пусть известно, что цель площадью s=0,6 м² находится в неко­тором осколочном поле, характеризующимся двумя попаданиями на один квадратный метр. Если для поражения цели достаточно попадания в нее хотя бы одного осколка, то вероятность такого со­бытия при будет равна: