Вычисление средних величин.


Одной из основных характеристик случайной величины являет­ся ее математическое ожидание:

(10)

где pi - вероятность появления случайной величины у, в каждом п, измерении при их общем числе n.

При ограниченном числе измерений вместо вероятности ис­пользуется частота события и вместо м(у) определяется средняя арифметическая величины у:

(11)

Для измерений, подчиняющихся закону нормального распреде­ления, иногда вместо средней арифметической величины исполь­зуют моду (наиболее часто встречающуюся величину) или медиану (среднюю в ранжированном ряду величин).

Конкретные величины уi будут отличаться от средней на раз­ность .

Для анализа этих отклонений используются сле­дующие характеристики:

1) среднее арифметическое отклонение

(12)

А для малого числа измерений

 

(13)

2) среднее квадратическое отклонение

 

(14)

При этом, -дисперсия (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания).

В дальнейшем мы будем обозначать дисперсию и т. п., подчеркивая, какую конкретно величину мы анализируем;

3) срединное (вероятное отклонение) е - это такая величина, относительно которой вероятность отклонений в большую и мень­шую сторону одинакова и равна 0,5. Соотношения между этими отклонениями приблизительно равны:

6е ≈ 5е1 ≈4е2 (15)

Чаще других используется среднее квадратическое отклонение σу, определяющее характер разброса случайной величины, точ­ность ее определения. Для оценки достоверности полученных ре­зультатов А. К. Митропольский [1] рекомендует использовать по­казатель точности исследования:

(16)

Чем точнее проведено исследование, тем меньше будет показа­тель рт для технических задач его желательно иметь менее 5 %.

Если известна (или задана) мера изменчивости , то из формулы (16) можно получить необходимое для достоверности
число экспериментов (наблюдений) n.

При прогнозировании следует знать не только конкретную
среднюю в какой-либо точке ti но и ее изменение от времени или
изменения какого-то иного фактора, то есть знать эти средние в нескольких точках.

Если линии, соединяющие указанные точки,
представляют собой ломаную, то ее следует сгладить. В ряде случаев сглаживание может облегчить применение методов выделения существующих тенденций
изменения y(t).

Один из наиболее простых приемов сглаживания [1] заключается в расчете скользящих средних, позволяющих сделать
плавными периодические и случайные колебания исследуемой величины.

Если рассматривать динамический ряд, состоящий из p уров-
ней, то скользящая средняя будет представлять собой среднюю ве-
личину для т последовательных уровней этого ряда (т < п). Для
каждого i-го уровня ряда скользящая средняя может быть вычисле-
на по формуле:

 

, (17)

где

 

Желательно принимать m нечетным числом, тогда р = 1; 2; 3;...
Как видно, при вычислении скользящей средней теряются 1, 2, 3... Крайние точки ряда. Зато можно наглядно наблюдать существую­щую тенденцию изменения y(t) (рис. 1.7).

 

 

 

Считая, что простые скользящие средние являются весьма гру­бым статистическим приемом выявления тенденции, часто иска­жающим оценку исследуемого процесса, Е.М. Четыркин [3] ре­комендует применять взвешенные скользящие средние. Под весом в

В данном случае понимается расстояние от середины интервала сглаживания. Точкам, находящимся ближе к середине конкретного интервала, приписывается больший вес. Метод определения весов, рекомендованный им, позволяет получить следующие формулы для нечетных m:

(18)

(19)

(20)

Если полученные расчетные значения все еще обладают значительной колеблемостью, то рекомендуется повторить процесс усреднения, то есть произвести второе, а потом, может быть, и третье сглаживание.

На наш взгляд, целесообразнее использовать в качестве коэф­фициентов при у известные биномиальные коэффициенты из так называемого треугольника паскаля. Тогда при нечетных m полу­чатся следующие формулы:

(21)

(22)

(23)

Сглаживания но этим формулам меньше искажают общую тен­денцию, а мелкие волны не меняют свой знак (вместо выпуклого участка на кривой не получается вогнутый) для наглядности пока­жем это на рис. 1.8.

Кстати, для приведенного на рис. 1.8 примера вычисления, произведенные по формуле (19) практически совпадают с вычис­лениями по формуле (17) при m-3. Также близки между собой вычисления, произведенные по формулам (21) и (22). В связи с этим не всегда нужно расширять интервал сглаживания m.

 

 

 

Более мягкое сглаживание по формуле (22), получается также и для ломаной с некоторой цик­личностью. Пример этого показан на рис. 1.9.

Следует отметить, что сам термин "взвешенная скользящая средняя" в приведенном выше варианте соответствует одинаково­му числу измерений в каждой точке ti. Более логично было бы учесть также число измерений для каждой i-й точки, особенно для технических задач. Для этого каждую величину следует умножить на соответствующее число измерений .

Результаты измерений представляют собой случайные величины. Процесс обработки экспериментальных данных заключается в нахождении наивероятнейшего значения измеряемой величины (среднего арифметического ), точности полученных результатов, средней квадратической и наибольшей возможной ошибки среднего арифметического.

Точность отдельного измерения определяется по формуле:

 

Точности среднего арифметического определяется по формуле:

,

т.е. точность среднего арифметического больше точности отдельных измерений и пропорциональна квадратному корню из числа измерений. Cредняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:

,

где - средняя квадратическая ошибка отдельного измерения.

Вероятная и наибольшая возможная (при Р-0,997) ошибки среднего арифметического, соответственно, равны:

и

При записи среднего арифметического принято указывать его среднюю квадратическую ошибку.



Дата добавления: 2021-01-26; просмотров: 401;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.012 сек.