Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции I_c относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела М на квадрат расстояния между осями:

I = I_c + Ma², (9.9)

где а — расстояние между осями.

На рисунке 9.5 оси вращения перпендикулярны плоскости чертежа: через точку 0 проходит произвольная ось; параллельная ей ось проведена через центр масс тела — точку С. Расстояние между осями — а.

Выделим элемент тела массой Dm_i. Его момент инерции относительно оси 0 равен:

. (9.10)

Как следует из рисунка , откуда:

. (9.11)

Рис. 9.5

Теперь момент инерции частицы Dm_i (9.10) можно представить такой суммой:

.

Для отыскания момента инерции всего тела, нужно сложить моменты инерции всех его частиц:

. (9.12)

Здесь за знак суммы вынесена постоянная величина — расстояние между осями а. Первое слагаемое справа = Ма², так как = М — масса тела. Второе слагаемое = I_С — момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс. Третье слагаемое равно нулю, так как сумма равна произведению массы тела на вектор , проведённый от оси С к центру масс тела. Но ось С проходит через центр масс, поэтому = 0 и = М = 0.

Собрав эти результаты в уравнение (9.12), получим выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера:

I_O = I_C + Ma².

Эта теорема значительно упрощает задачу вычисления моментов инерции.

Известен, например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс (9.7):

.

Воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, легко вычислим момент инерции этого же стержня относительно оси z’, проходящей, например, через край стержня (рис. 9.3):

I_z’ = I_z + Ma², a = l/2.

.

Это значение момента инерции совпадает с результатом (9.8), который был получен методом прямого интегрирования.