Кинетическая энергия тела при плоском движении

Любое движение твёрдого тела может быть представлено суперпозицией двух движений — поступательного и вращательного.

Представим плоское движение тела суммой поступательного со скоростью , равной скорости центра масс, и вращения с угловой скоростью вокруг оси, проведённой через центр масс тела — точку С.

Скорость i-той частицы тела (Dm_i) будет равна векторной сумме её скоростей в этих двух движениях:

.

Здесь — радиус-вектор частицы, определяющий её положение относительно точки центра масс — С (рис. 10.4).

Рис. 10.4

Вычислим кинетическую энергию i-той частицы:

.

Заметим (см. рис. 10.4), что модуль векторного произведения равен:

,

где R_i — радиус круговой траектории частицы Dm_i, или, что то же самое, — её расстояние от оси вращения.

Теперь раскроем скобки, попутно сделав циклическую перестановку сомножителей во втором слагаемом:

.

Кинетическая энергия тела равна сумме энергий всех её частиц, поэтому:

.

Анализируя этот результат, приходим к следующим выводам:

Сумма = М равна массе тела.

Сумма равна произведению массы тела на радиус-вектор точки центра масс . Но так как в этой задаче все радиус-векторы откладываются от точки центра масс, то = 0, и = = 0.

Сумма = I_C представляет собой момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс (точку С).

Таким образом, кинетическая энергия тела равна:

. (10.8)

Представив движение суммой поступательного и вращательного движений, мы пришли к выводу, что кинетическая энергия плоского движения равна сумме энергий поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс V_С и вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела:

.