Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя

Как уже отмечалось, произвольное движение твердого тела может быть представлено совокупностью двух простых движений: поступательного и вращательного. Причем деление произвольного движения на составляющие всегда неоднозначно.

Рассмотрим, например, качение цилиндра без проскальзывания по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью V₀ (рис. 10.1). Это движение можно представить, например, суммой таких двух движений:

1. Поступательного со скоростью центра масс V₀

2. Вращения относительно оси, совпадающей с осью симметрии.

Рис. 10.1

Это вращение должно происходить с угловой скоростью:

.

В этом случае точки на поверхности цилиндра будут двигаться со скоростью:

w₀R = V₀.

При сложении таких двух движений верхняя точка движется со скоростью V_A = 2V₀, вдвое превышающей скорость оси цилиндра V₀. Скорость точек (В), касающихся горизонтальной поверхности будет равна нулю, что отвечает условию задачи: качание происходит без проскальзывания(V_В = 0).

То же самое движение может быть представлено и совершенно по-другому. В этом и заключается неоднозначность разделения сложного движения на составляющие.

Например, качание этого же цилиндра можно рассматривать как нескончаемая цепь поворотов цилиндра относительно оси, совпадающей с образующей цилиндра В, лежащей на горизонтальной поверхности (рис. 10.2). Это — мгновенная ось вращения, так как в процессе качания она движется и по поверхности цилиндра и по горизонтальной поверхности. Это вращение цилиндра относительно мгновенной оси должно происходить с угловой скоростью:

.

Рис. 10.2

Тогда скорость поступательного движения цилиндра (скорость его оси) будет отвечать условию задачи:

w₀R = V₀.

При этом мгновенная скорость верхней точки цилиндра, как мы уже знаем, будет вдвое выше:

V_A = w₀2R = 2w₀R = 2V₀.

Если, в общем случае, представлять произвольное движение твёрдого тела суммой поступательного и вращательного, то каждое из этих движений описывается своим законом. Таким законом для поступательного движения является теорема о движении центра масс:

, (10.1)

а для вращательного движения — уравнение моментов:

. (10.2)

Система этих двух векторных уравнений при проецировании их на оси декартовой системы координат переходит в систему шести скалярных уравнений:

, ,

, ,

, .

Если на рассматриваемое тело не действуют внешние силы = 0, то и момент внешних сил отсутствует = 0. Это условие отвечает равновесию тела. В этом состоянии тело может покоиться (V = 0, w = 0), либо двигаться с постоянной линейной и угловой скоростями (V = сonst., w = сonst.). При этом импульс тела и момент импульса сохраняют своё значение

,

Твёрдое тело будет находиться в покое, если для него выполняются условия равновесия:

= 0;

= 0,

и, кроме того, начальные скорости тела — линейная и угловая равны нулю:

V(0) = V₀ = 0;

w(0) = w₀ = 0.

Это означает, что тело, находящееся в покое, не покинет это состояние, если оно находится в равновесии.

Подводя итог, сформулируем основные выводы:

Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твёрдого тела:

. (10.3)

Условия равновесия твёрдого тела:

. (10.4)

Условия покоя:

. (10.5)