Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел

Момент инерции тела аддитивная величина, равная сумме моментов инерции всех частиц тела:

.

Здесь m_i — масса i-той частицы, которую можно связать с плотностью вещества r_i и объёмом частицы:

m_i = r_iDV_i.

Тогда .

Если тело однородно, то есть его плотность повсюду одинакова, то r можно вынести за знак суммы:

.

Разделяя тело на всё более мелкие частицы, сведём задачу отыскания момента инерции к вычислению интеграла:

.

Интегрирование проводится по всему объёму тела V.

В качестве примера вычислим момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси z, проходящей через его центр масс — точку С (рис. 9.3). Длина стержня — l, его масса — M.

На расстоянии x от оси вращения выделим элемент dx, масса которого dm = .

Рис. 9.3

Момент инерции этой частицы стержня равен:

.

Вычислив подобным образом, моменты инерции всех элементов стержня, сложим их, взяв интеграл:

.

Таким образом:

I_z = . (9.7)

Интегрирование проведено по x в пределах от до .

Как изменится момент инерции этого стержня, если ось вращения перенести в другое место? Провести её, например, через край стержня?

В этом случае прежний интеграл нужно рассмотреть в пределах от 0 до l:

. (9.8)

Новое значение момента инерции того же стержня заметно возросло. Связано это с тем, что момент инерции тела определяется не только его массой, но и её распределением относительно оси вращения.

Вычислим момент инерции ещё одного тела: сплошного цилиндра относительно его геометрической оси.

Рис. 9.4

Пусть M — масса, а R — радиус цилиндра (рис. 9.4). Выделим в этом цилиндре цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Масса этого слоя:

dm = r × dV = r × 2pr × dr × l,

где: r — плотность материала цилиндра;

l — его длина.

Все частицы этого слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения — геометрической оси цилиндра, значит, момент инерции слоя равен:

dI = dm × r² = r × 2pr × dr × l × r².

Для отыскания момента инерции цилиндра проинтегрируем последнее выражение:

.

Отметим, что pR²l = V — объём цилиндра, а rpR²l = rV = M — его масса.

Тогда момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси можно окончательно записать в таком виде:

.