Теорема Колмогорова


Введем несколько вспомогательных понятий, связанных с функциональным х.

Открытым интервалом в х называется множество всех конечных вещественных функций х(t), которые удовлетворяют конечному числу неравенств вида

аj < х(tj) < bj ( j = 1, 2, ..., n), (1.1)

где n – произвольное целое число; tj – точки из Т; aj и bj – конечные или бесконечные вещественные числа.

Замкнутым интервалом называется множество всех х(t), удовлетворяющих системе аналогичных неравенств, в которых aj и bj – конечные числа и знак < заменяется на £.

Множество всех х(t), определенное неравенствами того же вида, в которых могут стоять оба знака (< или £), будет называться просто интервалом.

Основанием интервала (1.1) называется n-мерный интервал в подпространстве Rn, состоящий из всех точек с координатами x(t1), ..., x(tn), которые удовлетворяют тем же неравенствам.

Открытый интервал является топологической окрестностью для каждой из своих точек. В топологии, индуцированной этими окрестностями, последовательность точек хn в Х сходится к пределу х, если для каждого фиксированного t Î T последовательность вещественных чисел xn(t) стремится в обычном смысле к пределу х(t). В этой топологии открытый интервал является открытым множеством, а замкнутый интервал – замкнутым множеством.

Все конечные суммы интервалов образуют поле множеств В0 в x. Наименьшее d-поле, содержащее В0, будет обозначаться В и может рассматриваться как обобщение класса борелевских множеств [2] в Rn.

Если дан случайный процесс x(t, w), то из определения процесса (см. § 1.1) следует, что все w – множества вида

{w; aj < x(tj; w) < bj, j = 1, 2, ..., n}

измеримы. Это утверждение остается справедливым, если некоторые из знаков < заменить на £. Таким образом, каждый интервал в пространстве выборочном функций Х измерим, и, следовательно, измеримо каждое множество поля В0 и наименьшего d-поля В, содержащего В0. Поэтому вероятностностная мера в Х, индуцированная функцией x(t, w), однозначно определима для всех множеств из В и В Î F1, где F1 есть d-поле множеств в Х.

Функция x(t, w) определяет семейство конечномерных распределений процесса; а n-мерная совместная функция распределения величин x(tj, w), j = 1, ..., n, – вероятностную меру любого интервала, определенного неравенствами указанного выше типа, для значений t, равных t1, ..., tn. Из свойства конечной аддитивности вытекает, что конечномерные распределения определяют вероятностную меру любого множества из поля В0. Ранее было отмечено, что функция x(t, w) индуцирует вероятностную меру в Х, которая однозначно определена для всех множеств из В, значит, заведомо для всех множеств из В0, где она, очевидно, должна совпадать с вероятностью, определенной конечномерными распределениями. Следовательно, последняя счетно аддитивна на В0, так что может однозначно быть продолжена на В. Таким образом, семейство конечномерных распределений любого случайного процесса однозначно определяет распределение вероятностной в выборочном пространстве Х для всех множеств d-поля В, порожденного интервалами, т.е. для всех борелевских множеств в Х.

Это первая часть теоремы Колмогорова. Вторая часть отвечает на уже сформулированный вопрос: если дано семейство конечномерных распределений, то при каких условиях существует случайный процесс, имеющий те же самые конечномерные распределения?

Доказано, что для существования такого процесса необходимо и достаточно, чтобы данное семейство распределений удовлетворяло условиям симметрии и согласованности, приведенным в § 1.1.

В дальнейшем будем рассматривать случайные процессы с параметром, принимающим значения из некоторого множества T вещественных чисел. Основное внимание будет сосредоточено на дискретном случае, когда T состоит из изолированных точек, обычно целых чисел, на непрерывном случае, когда T представляет собой некоторый (конечный или бесконечный) интервал. Параметр t при этом будет часто интерпретироваться как время.

 

 




Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 382;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.008 сек.