Вещественный параметр. Дискретный случай

На практике часто сталкиваются со случаем, когда наблюдения за случайно меняющейся системой производятся через равные промежутки времени. Взяв в качестве единицы времени промежуток между двумя последовательными измерениями, получим последовательность случайных величин, т.е. случайный процесс с целочисленным параметром.

Изменим прежние обозначения: параметр будем обозначать n вместо t, а случайную величину, наблюдаемую в момент n, будем обозначать x_n или x_n(w) вместо x(t, w). Множество Т значений параметра будет состоять из всех рассматриваемых n; чаще всего Т будет множеством всех целых чисел n = ..., -1, 0, 1, ... или множеством всех положительных чисел n₁ = = 1, 2, ...

Последовательность случайных величин x_n = x_n(w), n = 1, 2, ..., переводит каждую фиксированную точку w основного вероятностного пространства в некоторую точку x = (x₁, x₂, ...) бесконечномерного пространства R^¥. Иными словами, выборочным пространством Х является пространство R^¥, состоящее из всех точек х = (х¹, х², ...) с бесконечным числом координат. Интервал в R^¥ представляет собой множество точек х, удовлетворяющих конечному числу неравенств вида a_j < x_j < b_j с теми же замечаниями о знаках неравенств, что и в общем случае (§ 1.3).

Предположим, что дана последовательность случайных величин x_n= = x_n(w), n = 1, 2, ... . Тогда любое конечное множество величин x_n, например , имеет совместное распределение вероятностей с функцией распределения

В силу первой части теоремы Колмогорова семейство всех функций F однозначно определяет вероятность того, что точка x = (x₁, ...) принадлежит множеству В < R^¥ для любого борелевского В.

Пусть теперь дано лишь семейство {F} функций распределения F( ) с любыми k и n_i, удовлетворяющее условиям симметрии и согласованности. Вторая часть теоремы Колмогорова показывает, что это семейство однозначно определяет распределение вероятностей в классе борелевских множеств в R^¥.

Таким образом, в обоих случаях в R^¥ может быть построено некоторое распределение вероятностей, соответствующее бесконечной случайной последовательности x = (x₁, x₂, ...). Вероятность того, что эта последовательность как точка в R^¥ будет принадлежать данному множеству А, однозначно определяется для любого борелевского А в R^¥.

Оказывается, что все множества в R^¥, которые могут быть определены с помощью обычных аналитических операций над x_n, являются борелевскими. Это очень важный факт; он означает, что в случае дискретных последовательностей случайных величин все события, с которыми сталкиваются, имеют вполне определенные вероятности. В непрерывном случае ситуация далеко не так проста.

Пример 1.1.Рассмотрим три простых примера борелевских множеств в R^¥, определенных с помощью простых операций над последовательностью случайных величин x₁, x₂, ... Каждый из этих примеров существенен для различных приложений.

Пусть h – некоторое число. Обозначим А, В и С множества в R^¥, определенные следующими соотношениями:

А: supx_n £ h,

В: limx_n = h,

С: limx_n – существует и конечен,

где n пробегает множество положительных чисел. Покажем, что каждое из этих множеств может быть получено из интервалов в R^¥ с помощью счетного числа операций, так что все они являются борелевскими. Для любых положительных целых чисел m, n и q обозначим через I_n, K_n,q и L_m,n,q, интервалы в R^¥, определенные неравенствами:

I_n: x_n £ h,

K_n,_q: ú x_n – hú < ,

L_m,n,q: ú x_m – x_nú < .

Множества А, В и С могут быть построены из этих интервалов с помощью пересечений и объединений следующим образом:

,

,

.

Отсюда следует, что множества А, В, С являются борелевскими.