Примеры случайных процессов

Приведем примеры случайных процессов, которые можно определить и изучить на основе понятий, введенных ранее в этой главе.

Пример 1.5. Процесс с взаимно независимыми значениями. Пусть F_n(Х) – последовательность одномерных функций распределения, где n пробегает множество целых чисел. Для любой конечной группы целых чисел n₁, …, n_k функция

является k-мерной функцией распределения. Очевидно, что семейство всех таких F с k = 1,2, … удовлетворяет условиям симметрии и согласованности. Следовательно, по теореме Колмогорова существует случайный процесс с целочисленным параметром …, x_–1, x₀,x₁, …, семейство конечномерных распределений которого совпадает с семейством всех F. В силу определения F, случайные величины x_n взаимно независимы. Процесс x_n называется процессом с взаимно независимыми значениями.

Пример 1.6. Стационарный марковский процесс. Пусть x₁, x₂, … – последовательность независимых случайных величин, распределенных нормально с параметрами (0, 1); иначе говоря, каждая случайная величина x_n имеет нормальную функцию распределения j(x). Определим новую последовательность случайных величин:

h₁ = x₁,

h₂ = rx₁ + (1 – r²)^1/2 x₂,

h_n = r^n-1x₁ + (1 – r²)^1/2 (r^n-2x₂ + r^n-3x₃ + … +x_n),

где r – некоторое число, ½r½< 1. Для всех m и n

Sh_n = 0, Sh_n² = 1, Sh_mh_n = r^½m–n½.

Любая конечная группа величин h_n имеет совместное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и с коэффициентами корреляции для любой пары h_n и h_т, равными r^½m-n½, так что свойство стационарности имеет здесь место.

Найдем

h = x₁,

,

.

Случайные величины, стоящие в этих равенствах справа, независимы и нормально распределены с параметрами (0, 1). Следовательно, условная плотность распределения

при условии, что величины x₁, …, x_n–1 приняли некоторые определенные значения, не зависит от этих значений и равна нормальной плотности j(x). Величины x₁, …, x_n–1 однозначно определяют h₁, …, h_n–1, и наоборот. Поэтому условное распределение h_n–1 при данных h₁, …, h_n–1 нормально с условным средним rh_n–1 и дисперсией (1 – r²)^1/2. Заметим, что это распределение зависит только от непосредственно предшествующей величины h_n–1 и не зависит от h₁, …, h_n–2. Случайный процесс, для которого зависимость от прошлого носит такой характер, называется марковским.

Приведенные примеры иллюстрируют применение теоремы Колмогорова при доказательстве существования случайных процессов с конечномерными распределениями.